[論文レビュー] The Lowest Order Interior Penalty Nonconforming Finite Element Methods for Linear Elasticity

Shihua Gong, Shuonan Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の次元空間における任意の単体メッシュ上で内部罰則安定化を用いた線形弾性の非適合混合有限要素法の2つのクラスを提案する。局所的な対称テンソル分解から導かれる面バブル空間を導入することで、明示的な基底関数のおかげで実装が簡単である一方で、変位および応力の両方において最適収束速度を達成する。

ABSTRACT

We propose two classes of mixed finite elements for linear elasticity of any order, with interior penalty for nonconforming symmetric stress approximation. One key point of our method is to introduce some appropriate nonconforming face-bubble spaces based on the local decomposition of discrete symmetric tensors, with which the stability can be easily established. We prove the optimal error estimate for both displacement and stress by adding an interior penalty term. The elements are easy to be implemented thanks to the explicit formulations of its basis functions. Moreover, the methods can be applied to arbitrary simplicial grids for any spatial dimension in a unified fashion. Numerical tests for both 2D and 3D are provided to validate our theoretical results.

研究の動機と目的

• 任意の単体メッシュ上で安定で、非適合混合有限要素法を構築すること。
• 任意の次元空間において、変位および応力の近似の最適収束速度を保証すること。
• 明示的な基底関数の定式化により実装を簡素化すること。
• 局所的対称テンソル分解に基づく非適合面バブル空間の新規構成を用いて安定性を確立すること。
• 単一のフレームワークを用いて、あらゆる次元空間にわたる定式化を統一すること。

提案手法

• 離散的対称テンソルの局所的分解から導かれる非適合面バブル空間を導入し、安定性を向上させる。
• 対称応力近似の連続性を弱く強制するために内部罰則項を適用する。
• これらの面バブル拡張を用いて非適合法を安定化する混合有限要素を構築する。
• 単体要素を用いて、任意の次元空間に適用可能な統一された定式化を採用する。
• 基底関数の明示的表現を導出し、実装を容易にする。
• 弱く強制された対称性と連続性を罰則項を用いて実現する混合変分法を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部罰則安定化のみを用いて、線形弾性の安定的非適合混合有限要素法を構築できるか？
• RQ2 面バブル空間をどのように設計すれば、変位および応力の両方で最適収束を保証できるか？
• RQ3 単体メッシュを用いて、あらゆる次元空間にわたる一様な定式化が可能か？
• RQ4 局所的対称テンソル分解は、この手法の安定性および収束性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 明示的基底関数は、正確性を損なわずに実装をどの程度簡素化できるか？

主な発見

• 提案手法は、エネルギーノルムにおいて、変位および応力の両方で最適収束速度を達成する。
• 局所的対称テンソル分解に基づく面バブル空間の導入により、安定性が厳密に確立される。
• 内部罰則項は連続性を効果的に強制し、最適な誤差推定を保証する。
• 任意の次元空間における任意の単体メッシュに適用可能であり、統一された定式化が可能である。
• 2次元および3次元における数値実験により、理論的収束速度が確認される。
• 明示的基底関数のおかげで、実装が容易かつ効率的である。