[論文レビュー] The Lusternik-Schnirelmann theorem for graphs

Frank Werner Josellis, Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 28被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、有限単純グラフに対して、収縮性、臨界点、カップ長の離散的類似物を導入することで、古典的ルステニク＝シュナイレルマンカテゴリー定理を拡張する。トポロジカルカテゴリー tcat(G) が、G の頂点上での任意の単射関数の臨界点数の最小値 crit(G) によって上から抑えられることを証明し、代数的トポロジーにおける基本的不等式の離散的版を確立する。

ABSTRACT

We prove the discrete Lusternik-Schnirelmann theorem telling that tcat(G) less or equal to crit(G) for a general simple graph G=(V,E). It relates the minimal number tcat(G) of in G contractible graphs covering G, with crit(G), the minimal number of critical points which an injective function f on the vertex set V can have. We also prove that the cup length cup(G) is less or equal to tcat(G) which is valid also for any finite simple graph. If cat(G) is the minimal tcat(H) among all graphs H homotopic to G and cri(G) is the minimal crit(H) among all graphs H homotopic to G, we get a relation between three homotopy invariants: an algebraic quantity (cup), a topological quantity (cat) and an analytic quantity (cri).

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体から有限単純グラフへ、古典的ルステニク＝シュナイレルマンカテゴリー定理を拡張すること。
• グラフ理論における主要なトポロジカル概念の離散的類似物—収縮性、臨界点、カップ長、ホモトピー—を定義し形式化すること。
• ホモトピー不変量の階層を確立する：カップ長 ≤ カテgóリー ≤ 臨界点数、これはすべての有限単純グラフに対して成り立つ。
• 離散的カテゴリー tcat(G) と臨界点数 crit(G) が、グラフの表現に依存しないホモトピー不変量であることを示すこと。

提案手法

• 頂点上に単射関数 f が存在し、すべての部分グラフ S⁻(x) = {y ∈ S(x) | f(y) < f(x)} が収縮可能であるとき、グラフを自身の中で I-収縮可能と定義する。
• 頂点および辺の変形手順（a–d）を用いて I-ホモトピーを定義し、これは Chen-Yau-Yeh の定理により、頂点操作のみで定義されるホモトピーと同値である。
• トポロジカルカテゴリー tcat(G) を、G とホモトピックなすべてのグラフ H についての tcat(H) の最小値として定義し、crit(G) を同様に crit(H) の最小値として定義する。
• カップ長 cup(G) を、G のコホモロジー環における非自明なカップ積の最大長さとして定義する。
• 帰納的構成と離散モース理論的議論を用いて、不等式鎖 cup(G) ≤ tcat(G) ≤ crit(G) を証明する。
• 単射関数 f: V → ℝ によって誘導されるフィルトレーションを用い、臨界点においてホモトピー的変化を追跡し、オイラー特性が変化する可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルステニク＝シュナイレルマンカテゴリー定理は、有限単純グラフへ一般化可能か？
• RQ2 グラフ理論における収縮性、臨界点、カップ長の離散的類似物は何か？
• RQ3 離散的設定において、不変量 tcat(G)、crit(G)、cup(G) の関係は何か？
• RQ4 カテゴリー tcat(G) はグラフにおけるホモトピー同値に関して不変か？
• RQ5 グラフ上での単射関数の臨界点の最小数は、そのトポロジカルカテゴリーによって上から抑えられるか？

主な発見

• 離散的ルステニク＝シュナイレルマン不等式が成立する：任意の有限単純グラフ G に対して tcat(G) ≤ crit(G) が成り立つ。
• カップ長 cup(G) はトポロジカルカテゴリーによって上から抑えられる：cup(G) ≤ tcat(G)。
• カテゴリー tcat(G) と臨界点数 crit(G) はホモトピー不変量であり、I-ホモトピーに関して保存される。
• crit(G) = 2 であるグラフは、離散的球面であり、ベッチ数が (1, 0, ..., 0, 1) で、オイラー特性が 1 + (−1)^n である。
• カテゴリーが 2 である最小の連結グラフは、サイクルグラフ C₄ である。
• tcat(G) や crit(G) の計算は計算的に困難であり、グラフのサイズに伴い指数関数的に増加し、一般のグラフでは NP に属するとは考えにくい。