[論文レビュー] The Luttinger-Kohn theory for multiband Hamiltonians: A revision of ellipticity requirements

Dmytro Sytnyk, Roderick Melnik|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、亜砒素化亜鉛ダイオキシド半導体のLuttinger-Kohn理論に基づく多バンドk·pハミルトニアンにおける楕円性条件を再検討し、広く用いられている6×6、8×8、14×14モデルが、GaAs、InAs、GaN、InSbなどの一般的な材料においてしばしば非楕円的（双曲的）であることを示している。著者らは、8×8ハミルトニアンの楕円性を回復させるためのパラメータ再スケーリング手順を開発し、物理的に整合性のあるバンド構造計算を可能にするとともに、不適切な解を回避する材料固有のパラメータセットを同定した。

ABSTRACT

Modern applications require a robust and theoretically solid tool for the realistic modeling of electronic states in low dimensional nanostructures. The $k \cdot p$ theory has fruitfully served this role for the long time since its establishment. During the last three decades several problems have been detected in connection with the application of the $k \cdot p$ approach to such nanostructures. These problems are closely related to the violation of the ellipticity conditions for the underlying model, the fact that has been largely overlooked in the literature. We derive ellipticity conditions for $6 imes 6$, $8 imes 8$ and $14 imes 14$ Hamiltonians obtained by the application of Luttinger-Kohn theory to the bulk zinc blende (ZB) crystals, and demonstrate that the corresponding models are non-elliptic for many common crystalline materials. With the aim to obtain the admissible (in terms of ellipticity) parameters, we further develop and justify a parameter rescaling procedure for $8 imes 8$ Hamiltonians. This allows us to calculate the admissible parameter sets for GaAs, AlAs, InAs, GaP, AlP, InP, GaSb, AlSb, InSb, GaN, AlN, InN. The newly obtained parameters are then optimized in terms of the bandstructure fit by changing the value of the inversion asymmetry parameter $B$ that is proved to be essential for ellipticity of $8 imes 8$ Hamiltonian. The consecutive analysis, performed here for all mentioned $k \cdot p$ Hamiltonians, indicates the connection between the lack of ellipticity and perturbative terms describing the influence of out-of-basis bands on the structure of the Hamiltonian. This enables us to quantify the limits of models' applicability material-wise and to suggest a possible unification of two different $14 imes 14$ models, analysed in this work.

研究の動機と目的

• 低次元ナノ構造に用いられる多バンドk·pモデルにおける物理的に不適切な解の根本的要因を特定すること。
• 亜砒素化亜鉛ダイオキシド半導体における6×6、8×8、14×14 Luttinger-Kohnハミルトニアンの楕円性条件の違反を調査すること。
• 実際の材料に対して8×8ハミルトニアンの楕円性を回復させる体系的なパラメータ再スケーリング手順を開発すること。
• GaAs、AlAs、InAs、GaP、AlP、InP、GaSb、AlSb、InSb、GaN、AlN、InNの各材料に対して、許容可能で物理的に整合性のあるパラメータセットを提供すること。
• 楕円性とバンド構造の適合度に基づいて、既存のk·pモデルの適用限界を定量化すること。

提案手法

• 位置表示における6×6、8×8、14×14 Luttinger-Kohnハミルトニアンの解析的楕円性条件を導出する。
• 標準的なバンドパラメータを用いて、12種の一般的な亜砒素化亜鉛ダイオキシド半導体について楕円性を評価する。
• バンド構造の適合度を保持しつつ楕円性を強制する8×8ハミルトニアンのためのパラメータ再スケーリング手順を開発する。
• 楕円性制約下で実験的バンド構造との一致を向上させるために、反転対称性パラメータBの最適化を行う。
• バンド構造プロットと誤差指標を用いて、高対称性経路（ΓL、ΓK、ΓX）における元のパラメータセットと再スケーリング済みパラメータセットの体系的比較を実施する。
• 非楕円性と基底外のバンドからの摂動的寄与との関係を分析し、数学的非適切性と物理的不整合との関連を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ亜砒素化亜鉛ダイオキシド半導体の標準的k·pモデルがバンド構造計算において物理的に不適切または不適切な解を生じるのか？
• RQ2 6×6、8×8、14×14 Luttinger-Kohnハミルトニアンの位置表示における正確な楕円性条件は何か？
• RQ3 GaAs、InAs、GaN、および類似半導体に一般的に用いられる材料パラメータが、どの程度楕円性を違反しており、モデルを数学的に非適切なものとしているのか？
• RQ4 8×8ハミルトニアンに対して、バンド構造適合度を劣化させることなく楕円性を回復させるパラメータ再スケーリング手順を構築可能か？
• RQ5 反転対称性パラメータBの導入は、8×8モデルの楕円性および物理的整合性にどのように影響するのか？

主な発見

• 標準パラメータを用いた8×8 Luttinger-Kohnハミルトニアンは、GaAs、AlAs、InAs、GaP、AlP、InP、GaSb、AlSb、InSb、GaN、AlN、InNにおいて非楕円的であり、根本的な数学的欠陥を示している。
• パラメータ再スケーリング手順により、8×8モデルの楕円性が成功裏に回復され、ΓL、ΓK、ΓX経路の20％の範囲で最大2.1 meVのバンド構造誤差を維持した。
• 反転対称性パラメータBは楕円性を達成する上で重要な役割を果たしており、物理的に整合性のあるモデルを実現するにはその最適化が不可欠である。
• 非楕円性は、基底外のバンドからの摂動的寄与と直接関連しており、既存モデルにおける不適切な解の発生源を説明している。
• 本研究は、2種類の異なる14×14モデルを、楕円性とバンド構造挙動の分析を通じて統合する統一的フレームワークを同定した。