[論文レビュー] The Lyapunov Concept of Stability from the Standpoint of Poincare Approach: General Procedure of Utilization of Lyapunov Functions for Non-Linear Non-Autonomous Parametric Differential Inclusions

Myroslav Sparavalo|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2014

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ポincareにインspiredされた3点戦略と階層的ファイバー束による幾何的位相的解析を用いて、非線形非-autonomousパラメトリック微分包含のための一般化されたリャプノフ関数の構築手順を提示する。特殊変換を通じて標準形を確立し、標準リャプノフ関数の適用を可能にするとともに、局所的・大域的漸近安定性の条件を導出する。特に、メタバンドル構造における典型ファイバーの分類的安定性を通じて、安定性を特徴づける。

ABSTRACT

The objective of the research is to develop a general method of constructing Lyapunov functions for non-linear non-autonomous differential inclusions described by ordinary differential equations with parameters. The goal has been attained through the following ideas and tools. First, three-point Poincare strategy of the investigation of differential equations and manifolds has been used. Second, the geometric-topological structure of the non-linear non-autonomous parametric differential inclusions has been presented and analyzed in the framework of hierarchical fiber bundles. Third, a special canonizing transformation of the differential inclusions that allows to present them in special canonical form, for which certain standard forms of Lyapunov functions exist, has been found. The conditions establishing the relation between the local asymptotical stability of two corresponding particular integral curves of a given differential inclusion in its initial and canonical forms are ascertained. The global asymptotical stability of the entire free dynamical systems as some restrictions of a given parametric differential inclusion and the whole latter one per se has been investigated in terms of the classificational stability of the typical fiber of the meta-bundle. There have discussed the prospects of development and modifications of the Lyapunov second method in the light of the discovery of the new features of Lyapunov functions.

研究の動機と目的

• 非線形非-autonomousパラメトリック微分包含のための一般化されたリャプノフ関数の構築手法を開発すること。
• 3点Poincaré戦略を用いて、微分包含およびその積分曲線の安定性を分析すること。
• 階層的ファイバー束およびメタバンドルを用いて、このような包含の幾何的位相的構造を分析すること。
• 元の微分包含とその標準形との間で局所的漸近安定性が保存される条件を同定すること。
• 自由力学系および完全なパラメトリック包含の全般的漸近安定性を、典型ファイバーの分類的安定性を通じて調査すること。

提案手法

• 非-autonomous微分包含における解および多様体の挙動を分析するため、3点Poincaré戦略を用いる。
• 階層的ファイバー束の枠組み内で、微分包含の幾何的位相的構造を表現する。
• 元の微分包含を標準形に変換する特殊な正規化変換を導出する。この標準形では、標準リャプノフ関数が適用可能となる。
• 元の形と標準形における対応する積分曲線の間で、局所的漸近安定性が保存される必要十分条件を確立する。
• メタバンドル構造内での典型ファイバーの分類的安定性を検討することで、大域的漸近安定性を分析する。
• 微分位相幾何学、ファイバー束理論、安定性理論の道具を用いて、パラメトリックおよび非-autonomous系の統一的取り扱いを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaréの3点戦略は、非線形非-autonomousパラメトリック微分包含の安定性分析にどのように適合可能か？
• RQ2 特殊変換によって到達可能な標準形は何か？ これにより標準リャプノフ関数の適用が可能になる。
• RQ3 元の微分包含とその標準形との間で、局所的漸近安定性が保存される条件は何か？
• RQ4 全自由力学系の大域的漸近安定性は、ファイバー束構造をどのように特徴づけられるか？
• RQ5 メタバンドル内での典型ファイバーの分類的安定性は、全パラメトリック系の安定性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 特殊変換を用いることで、非線形非-autonomousパラメトリック微分包含に対して一般化されたリャプノフ関数の構築手順が確立された。
• 元の形と標準形における対応する積分曲線の間で、局所的漸近安定性が保存されることを保証する条件が導出された。
• 階層的ファイバー束を用いて、システムの幾何的位相的構造が完全に特徴づけられ、体系的な安定性解析が可能となった。
• 全自由力学系の大域的漸近安定性は、メタバンドル内での典型ファイバーの分類的安定性と関連づけられた。
• 本研究は、リャプノフ関数の新たな構造的特徴を明らかにし、古典的リャプノフ第二法の拡張および修正の可能性を示唆した。
• 本フレームワークは、微分方程式、位相幾何学、制御理論を統合する統一的安定性解析手法を提供した。