[論文レビュー] The MacMahon Master Theorem for right quantum superalgebras and higher Sugawara operators for $\widehat{\mathfrak{gl}}(m|n)$

Alexander Molev, E. Ragoucy|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、右量子スーパ-algebra におけるマクマヘンマスターテーラムのスーパー類似定理を確立し、超トレースを用いて対称化および反対称化されたマニン行列の積の生成関数が、それらの積が1に等しくなることを証明する。この結果により、臨界レベルにおけるアフィンリー超代数 $\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の高次のスガワラ作用素の明示的構成が可能となり、非可換バーリンィアンの展開における係数および生成行列のべきのトレースとして得られ、これらは一般のヴェルマ加群における代数的に独立な特異ベクトルを生成する。

ABSTRACT

We prove an analogue of the MacMahon Master Theorem for the right quantum superalgebras. In particular, we obtain a new and simple proof of this theorem for the right quantum algebras. In the super case the theorem is then used to construct higher order Sugawara operators for the affine Lie superalgebra $\widehat{\mathfrak{gl}}(m|n)$ in an explicit form. The operators are elements of a completed universal enveloping algebra of $\widehat{\mathfrak{gl}}(m|n)$ at the critical level. They occur as the coefficients in the expansion of a noncommutative Berezinian and as the traces of powers of generator matrices. The same construction yields higher Hamiltonians for the Gaudin model associated with the Lie superalgebra $\mathfrak{gl}(m|n)$. We also use the Sugawara operators to produce algebraically independent generators of the algebra of singular vectors of any generic Verma module at the critical level over the affine Lie superalgebra.

研究の動機と目的

• 右量子スーパ-algebra の文脈にマクマヘンマスターテーラムを拡張すること、特に $\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の文脈において。
• アフィンリー超代数 $\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の臨界レベルにおける高次のスガワラ作用素の明示的構成を行うこと。
• これらの作用素を用いて、$\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の一般のヴェルマ加群における特異ベクトルの代数的に独立な生成元を導出すること。
• スガワラ作用素および $\mathfrak{gl}_{m|n}$ に関連するゴーディン模型の高次のハミルトニアンの構成を統一する非可換バーリンィアン枠組みを確立すること。

提案手法

• マニン行列が満たす階数付き交換関係 $[z_{ij}, z_{kl}] = [z_{kj}, z_{il}] (-1)^{\bar{i}\bar{j} + \bar{i}\bar{k} + \bar{j}\bar{k}}$ を用いて、右量子スーパ-algebra $\widehat{\mathcal{M}}_{m|n}$ を定義する。
• 対称群 $\mathfrak{S}_k$ 内の対称化子 $H_k$ および反対称化子 $A_k$ を用いて、ボソン的およびフェルミオン的生成関数 $\mathrm{Bos} = 1 + \sum_{k=1}^\infty \mathrm{str}\, H_k Z_1 \cdots Z_k$ および $\mathrm{Ferm} = 1 + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \mathrm{str}\, A_k Z_1 \cdots Z_k$ を導入する。
• テンソル積代数 $\mathrm{End}\,\mathbb{C}^{m|n} \otimes \cdots \otimes \mathrm{End}\,\mathbb{C}^{m|n} \otimes \mathcal{M}_{m|n}$ における定義関係の行列形式 $(1 - P_{12})[Z_1, Z_2] = 0$ を用いて、恒等式 $\mathrm{Bos} \times \mathrm{Ferm} = 1$ を証明する。
• ボソン的関数の逆として非可換バーリンィアンを構成し、その展開における係数として高次のスガワラ作用素を得る。
• スガワラ作用素を生成行列 $T(z)$ のべきのトレースとして実現し、臨界レベルにおけるヴェルマ加群における特異ベクトルを生成する。
• ニュートンの恒等式および再帰関係を用いて、特異ベクトルのハリシュ・チャンドラ準同型による像を計算し、生成元の代数的独立性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクマヘンマスターテーラムは、右量子スーパ-algebra の文脈にどのように一般化可能か？
• RQ2 右量子スーパ-algebra の文脈における非可換バーリンィアンの構造は何か？ そしてスガワラ作用素とどのように関係するか？
• RQ3 アフィンリー超代数 $\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の臨界レベルにおける高次のスガワラ作用素は、明示的に構成可能か？
• RQ4 これらの作用素は、$\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の一般のヴェルマ加群における代数的に独立な特異ベクトルをどのように生成するか？
• RQ5 構築されたスガワラ作用素と $\mathfrak{gl}_{m|n}$ に関連するゴーディン模型のハミルトニアンの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 右量子スーパ-algebra $\mathcal{M}_{m|n}$ に対して恒等式 $\mathrm{Bos} \times \mathrm{Ferm} = 1$ が成り立ち、古典的マクマヘンマスターテーラムがスーパー設定に一般化される。
• 臨界レベルにおける $\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の高次のスガワラ作用素は、非可換バーリンィアンの展開における係数および生成行列 $T(z)$ のべきのトレースとして明示的に構成される。
• これらの作用素は、$\widehat{\mathfrak{gl}}_{m|n}$ の完全化された普遍包あらわし代数の元であり、任意の一般ヴェルマ加群における特異ベクトルの代数的独立な生成元をなす。
• 同じ構成により、$\mathfrak{gl}_{m|n}$ に関連するゴーディン模型の高次のハミルトニアンが得られ、可積分系と表現論の統一的枠組みが確立される。
• 係数 $h^{\lambda}_{kk}[r]$ の再帰関係は線形近似のもとで簡略化され、その結果得られる系は双対リー超代数 $\widehat{\mathfrak{gl}}_{n|m}$ のそれと一致し、非ゼロの行列式と代数的独立性を保証する。
• 同型 $\mathcal{H}C$ は、$T(z)$ の正規順序付けられたべきのトレースを微分作用素に写像し、ニュートンの恒等式によりスガワラ作用素は $s^{\lambda}_{k}(z) = \sum_{l=0}^{k-1} (-1)^l (l+1) h^{\lambda}_{k-l-1}(z) \sigma^{\lambda}_{l+1}(z)$ を通じてそれらと関連づけられる。