[論文レビュー] The Mandelstam-Terning Line Integral in Unparticle Physics -- A Reply to Galloway, Martin and Stancato

Alexis Licht|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ゲージ場に不粒界粒子をゲージ不変に結合するために用いられるマンデルスタム＝テルニング経路順序付きウィルソン線を、数学的に不整合であると示している。なぜなら、この線はゲージ場強度が消えることを意味し、結果としてゲージ場が純粋ゲージに帰着するからである。しかし、その一方で、純粋ゲージ項を物理的ゲージ場に手動で置き換えるという恣意的な手続きにより、物理的に妥当な頂点が得られる。この手続きは、数学的に二重の誤りを犯しているが、それらが相殺されることで整数次元の不粒界粒子に対して正しい最小結合結果が得られる。

ABSTRACT

We show that the path ordered Wilson line integral used in 0802.0313 to make a nonlocal action gauge invariant is mathematically inconsistent. We also show that it can lead to reasonable gauge field vertexes by the use of a second mathematically unjustifiable procedure.

研究の動機と目的

• 経路順序付きウィルソン線が不粒界粒子とゲージ場をゲージ不変に結合するために用いられる数学的整合性を調査すること。
• この手法によって得られる頂点が最小結合原理を満たすかどうかを評価すること。
• 数学的に欠陥のある手続きが、なぜ不粒界粒子物理学において物理的に妥当な結果を生み出すのかを明確にすること。
• ウィルソン線演算子に対してマンデルスタム条件を仮定することに潜む根本的な不整合を暴露すること。

提案手法

• マンデルスタム条件 (3) の下でウィルソン線の2階微分を導出することにより、ウィルソン線の微分が終点におけるゲージ場と関係することを示す。
• 2階微分の可換性を適用して、場強度テンソルが消えること、つまりゲージ場が純粋ゲージであることを示す。
• ゲージ変換理論を用いて、ゲージ場をゼロに設定するユニタリ変換を明示的に構成し、場強度が消えることを確認する。
• 不粒界粒子作用から頂点を抽出するために用いられる関数的微分手続きを分析し、純粋ゲージ項を手動で物理的ゲージ場成分 $A_\nu$ に置き換えていることを明らかにする。
• 純粋ゲージ項を物理的 $A_\nu$ ゲージ場に恣意的に置き換える手続きにより、特に整数次元の不粒界粒子に対して正しい頂点が回復されることを示す。
• 最小結合原理との比較を行い、置き換え手続きが適用されていない限り、結果は一致しないが、その手続きが適用されると一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルソン線に対するマンデルスタム条件は、整合的なゲージ場配置を導くか？
• RQ2 ウィルソン線形式は、数学的欠陥を有しながらも物理的に妥当な不粒界粒子-ゲージ頂点を生み出せるか？
• RQ3 なぜウィルソン線手法は、整数次元の不粒界粒子に対して最小結合と整合する結果を生み出すのか？
• RQ4 マンデルスタム条件をウィルソン線に適用した際の、経路順序付きウィルソン線における数学的不整合の起源は何か？
• RQ5 純粋ゲージ場が関数的微分手続きによって物理的頂点を生み出すのは、どのように可能なのか？

主な発見

• マンデルスタム条件 (3) は、場強度テンソル $F_{\nu\beta}$ が恒等的に消えることを意味し、これはゲージ場が純粋ゲージであり、物理的にはゼロに等しいことを示す。
• ウィルソン線演算子 $W_P$ は、ゲージ場がゼロにゲージ同値である場合にのみマンデルスタム条件を満たし、その結果、ゲージ場は標準的意味で物理的でなくなる。
• しかし、ウィルソン線を不粒界粒子作用に組み込む手続きは、整数次元の不粒界粒子に対して、最小結合規定と一致する頂点を依然として生成できる。
• この手法の成功は、恣意的な置き換えに起因する：ウィルソン線から得られる純粋ゲージ項が、関数的微分の前段階で物理的 $A_\nu$ ゲージ場に置き換えられる。これは数学的に正当化されていないが、正しい結果をもたらす。
• 関数的微分手続きは、純粋ゲージ場に対して一貫して適用できない。なぜなら、$\partial_\alpha \Lambda^a$ を $\Lambda^b$ で微分する際に、デルタ関数の微分が現れ、これが導出で想定されているようにクリロネッカーのデルタに変換できないからである。
• この論文は、この手法が数学的正しさのおかげで機能するのではなく、二重の誤りが相殺されることによって機能していると結論づける。一つは不整合なウィルソン線、もう一つは正当化されていない純粋ゲージ項の置き換えである。