[論文レビュー] The many body problem in relativistic quantum mechanics

M. Moshińsky, A. G. Nikitin|ArXiv.org|Feb 3, 2005

Nuclear physics research studies参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、重心運動量系（\mathbf{P} = 0）において、一般化されたフォールディ・ウーストゥイゼン変換を用いて正エネルギー状態を分離することで、同一スピン1/2粒子のPoincaré不変なn体ハミルトニアンを提案する。チャロンニウムおよびボトミウムのスペクトルをモデル化するため、調和振動子ポテンシャルを適用し、結合定数 $\omega$ とスピン軌道結合パラメータ $\alpha$ の2つの自由パラメータのみを用いて、実験的質量分裂と良好な定量的整合性を達成した。この手法は場の理論を用いずに、妥当な相対論的多体フレームワークを提供する。

ABSTRACT

We discusse a relativistic Hamiltonian for an n-body problem in which all the masses are equal and all spins take value 1/2. In the frame of reference in which the total momentum $vP=0$, the Foldy-Wouthuysen transformation is applies and the positive energy part of the Hamiltonian is separated. The Hamiltonian with unharmonic oscillator potential is applied to describe mass differences for charmonium and bottonium states.

研究の動機と目的

• 相対論的不変性を保ちつつ、単一時間変数を用いる多体形式を構築すること。多時間形式の複雑さを回避する。
• 相対論的n体系において、正エネルギー解と負エネルギー状態を分離する課題に取り組み、非相対論的多体手法に類似したアプローチを提供すること。
• 同一スピン1/2粒子（例：クォーカー二体）の実用的で扱いやすい相対論的ハミルトニアンを構築し、観測された質量スペクトルを再現すること。
• 完全な量子場理論を用いずに、重いクォーカー二体状態を記述するための単純なポテンシャルモデル（調和振動子にスピン軌道結合を加えたもの）の有効性を示すこと。

提案手法

• 各粒子にディラック型演算子を用いた、明示的にPoincaré不変なn体波動方程式を定式化。粒子は同一質量かつスピン1/2である。
• 重心運動量系（$\mathbf{P} = 0$）においてフォールディ・ウーストゥイゼン変換を適用し、正エネルギー状態と負エネルギー状態を分離し、物理的状態空間を抽出する。
• 調和振動子でないポテンシャルを含む相対論的ハミルトニアンを用い、パラメータ $\omega$ と $\alpha$ を介してスピン軌道およびスピンスピン相互作用を導入する。
• 球対称スピンルーチン基底において、$\rho^2$、$\pi^2$、$\pi^4$、$\pi^6$、および $({\bf S} \cdot \mbox{\boldmath$\pi$})^2$ の行列要素を用いてエネルギー固有値を導出する。
• MAPLEソフトウェアを用いて、理論的スペクトルと実験的質量分裂との偏差を最小化するように、$\omega$ と $\alpha$ を数値的にフィッティングする。
• PDGの実験データと比較することで、$\Upsilon$ および $\Psi$ 态の予測された質量差を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的不変性を損なわずに、単一時間枠組みでPoincaré不変なn体ハミルトニアンを定式化できるか？
• RQ2 一般化されたフォールディ・ウーストゥイゼン変換を用いて、相対論的n体系の正エネルギー状態を体系的に分離できるか？
• RQ3 単純な調和振動子ポテンシャルにスピン軌道結合を加えたモデルが、チャロンニウムおよびボトミウム状態の質量スペクトルをどの程度再現できるか？
• RQ4 相対論的多体フレームワークにおいて、実験的クォーカー二体質量分裂と定量的に整合させるために必要な最小パラメータセットは何か？

主な発見

• モデルは $\Upsilon(2S)-\Upsilon(1S)$ の質量分裂を 0.574 GeV と予測し、実験値の 0.563 GeV と比較して約 2% の相対誤差を示した。
• $\Upsilon(3S)-\Upsilon(1S)$ 态については理論的予測が 0.963 GeV、実験値が 0.895 GeV であり、7.6% のずれを示した。
• モデルは $\Psi(2S)-J/\Psi(1S)$ の分裂を 0.589 GeV と正確に再現し、モデルの精度範囲内で実験値と一致した。
• $\xi_{c2}(3P)-J/\Psi(1S)$ 态の予測値は 0.422 GeV であり、実験値の 0.459 GeV に近い結果となり、高次の径動励起状態に対しても妥当な一致が得られた。
• フィッティングされたパラメータは、ボトミウムに対して $m = 4.7$ GeV、$\omega = 0.378$、$\alpha = 4.7$、チャロンニウムに対して $m = 1.4$ GeV、$\omega = 0.45$、$\alpha = 1.2$ であった。
• 強い物理的根拠のない現象論的ポテンシャルを用いても、複数の状態において良好な定性的および定量的整合性が得られた。