[論文レビュー] The Many Faces of the Subspace Theorem (after Adamczewski, Bugeaud, Corvaja, Zannier...)

Yuri Bilu|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 58被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ディオファントス近似および超越論における部分空間定理の高度な応用を調査し、代数的数の複雑性、累乗和を含むディオファントス方程式、代数的多様体上の整数点に関する深い問題を解く際のその強力さを示している。主な貢献は、レヴィン＝オーティッシャー定理の完全な証明である：無限遠で4つ以上の適切に交わるアファイン多様体上のアファイン面は、整数点の集合がザリスキー稠密にはなり得ない。

ABSTRACT

During the last decade the Subspace Theorem found several quite unexpected applications, mainly in the Diophantine Analysis and in the Transcendence Theory. Among the great variety of spectacular results, I have chosen several which are technically simpler and which allow one to appreciate how miraculously does the Subspace Theorem emerge in numerous situations, implying beautiful solutions to difficult problems hardly anybody hoped to solve so easily. The three main topics discussed in this article are: the work of Adamczewski and Bugeaud on complexity of algebraic numbers; the work of Corvaja and Zannier on Diophantine equations with power sums; the work of Corvaja and Zannier on integral points on curves and surfaces, and the subsequent development due to Levin and Autissier. In particular, we give a complete proof of the beautiful theorem of Levin and Autissier: an affine surface with 4 (or more) properly intersecting ample divisors at infinity cannot have a Zariski dense set of integral points.

研究の動機と目的

• 部分空間定理がディオファントス近似および超越論における困難な問題を解く際の多様性と強力さを示すこと。
• 無限遠で複数のアファイン多様体を持つアファイン面における整数点の非稠密性を示すレヴィン＝オーティッシャー定理の完全な証明を提示すること。
• 部分空間定理が代数的数の複雑性、累乗和を含むディオファントス方程式、および曲線・曲面上の整数点においても画期的な結果をもたらす仕組みを説明すること。
• 部分空間定理が、その当初の形式から数十年が経過した現在でも、現代の算術的幾何学における中心的役割を果たしていることを強調すること。

提案手法

• シュリッケルヴァイによる一般化された部分空間定理を用い、さまざまなディオファントス問題に適用する。
• 代数的数の有理近似およびその $S$-整数近似を含む不等式の解の数を抑え込むために定理を適用する。
• コhomオロジー的技法とリーマン・ローチ理論を用いて、曲線および曲面上の線形系統の次元を推定する。
• ベルティーニの定理を用いて滑らかな曲線に還元し、層の完全系列を用いてコホモロジー群を制御する。
• 特に除数の交線論を重視して、代数的曲面上の高さ理論および除数論を適用する。
• アファイン多様体のアーベル性と有効除数を用いた幾何的議論と部分空間定理を組み合わせ、有限性結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分空間定理を用いて、代数的数およびその近似を含むディオファントス不等式の解の有限性を確立できるか？
• RQ2 累乗和を含むディオファントス方程式系が、有限個の解しか持たないための条件は何か？
• RQ3 アファイン面の幾何的条件として、整数点の集合がザリスキー稠密でなくなるのはどのような場合か？
• RQ4 部分空間定理は、代数的数の小数展開に任意に長いゼロのブロックが現えないことをどのように示すのか？
• RQ5 2つの線形再帰列の商が無限回にわたって整数になるための正確な条件は何か？

主な発見

• レヴィン＝オーティッシャー定理が証明された：無限遠で4つ以上の適切に交わるアファイン多様体を持つアファイン面は、整数点の集合がザリスキー稠密にはなり得ない。
• $S$-整数に適用した部分空間定理により、代数的数の小数展開に任意に長いゼロのブロックが現えないことが示された。
• 部分空間定理により、任意の無理数代数的数 $\alpha$ および $\varepsilon > 0$ に対して、不等式 $|\alpha - \xi| < H(\xi)^{-1-\varepsilon}$ は $S$-整数 $\xi$ に対して有限個の解しか持たない。
• 2つの線形再帰列の商が無限回にわたって整数になるのは、特定の条件下でのみであり、部分空間定理を用いることで、支配的固有値が存在しない場合でもこの問題が解決された。
• 積 $(ab+1)(ac+1)(bc+1)$ は、すべての素因数が小さいだけではあり得ず、ギョーリー、サルコージ、ストーウェルの予想が確認された。
• 整数行列の $N$ を法とする乗法的位数は、$N \to \infty$ のとき $\log N$ より速やかに増加する。この結果は部分空間定理によって確立された。