[論文レビュー] The MAPLE package for calculating Poincaré series

Leonid Bedratyuk|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Advanced Algebra and Geometry被引用数 6

ひとこと要約

この論文では、二進形式の不変量、余不変量、および共通不変量／余不変量のポアンカレ系列、およびワイツェンボック微分作用素の核と多変数二変数系列のポアンカレ系列を計算する Maple パッケージ Poincare_Series を提示する。q-シフト階乗と微分作用素に基づく閉形式の公式を実装し、古典的不変量論における次数付き代数の正確な有理関数計算を可能にする。

ABSTRACT

We offer a Maple package { t Poincare\_Series} for calculating the Poincaré series for the algebras of invariants/covariants of binary forms, for the algebras of joint invariants/covariants of several binary forms, for the kernel of Weitzenböck derivations and for the multivariate Poincaré series of algebras of joint invariants/covariants of several binary forms.

研究の動機と目的

• 古典的不変量論における有限生成次数付き代数のポアンカレ系列を計算するツールを提供すること。
• 単一および複数の二進形式の不変量および余不変量のポアンカレ系列の閉形式の公式を実装すること。
• 共通不変量および共通余不変量の多変数および二変数ポアンカレ系列への計算を拡張すること。
• 余不変量代数との同型を用いてワイツェンボック微分作用素の核のポアンカレ系列を計算可能にする。
• 研究者による不変量論の研究を支援する、ドキュメント化されたコマンドと例を備えた使いやすく再利用可能な Maple パッケージを提供すること。

提案手法

• パッケージは、q-シフト階乗と次数低減作用素 φn を含む、二進d次形式の不変量のポアンカレ系列のスプリンガーの公式を使用する。
• 余不変量に対しては、(1−z²) の代わりに (1+z) を用いたスプリンガーの公式の修正版を適用し、同じ構造的形を保つ。
• 複数の形式の共通不変量および共通余不変量に対しては、導関数と極限を用いた多変数の公式を用い、有理関数の母関数を計算する。
• ワイツェンボック微分作用素の核は、余不変量代数との同型を介して計算され、同じ系列公式が使用される。
• 二変数および多変数ポアンカレ系列は、次数と次数に対して別々の変数を用いた母関数を用い、有理関数と微分作用素を統合して計算される。
• 実装は Xin の Ell2.mpl などの補助パッケージに依存し、Maple における記号微分、級数展開、有理関数の簡約処理を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進d次形式の不変量代数のポアンカレ系列は、閉形式の公式を用いてどのように効率的に計算できるか？
• RQ2 単一の二進形式の余不変量代数のポアンカレ系列の構造は何か？不変量の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 複数の二進形式の共通不変量および共通余不変量のポアンカレ系列は、統一された有理関数の公式で表現可能か？
• RQ4 不変量論の同型を用いて、ワイツェンボック微分作用素の核のポアンカレ系列はどのように計算できるか？
• RQ5 余不変量および共通不変量の二変数および多変数ポアンカレ系列の形は何か？そして、それらはどのように記号的に計算できるか？

主な発見

• 二進6次形式の不変量のポアンカレ系列は、有理関数 (z^8 + z^7 - z^5 - z^4 - z^3 + z + 1) / ((z^6 + z^5 + z^4 - z^2 - z - 1)(z^6 + z^5 - z - 1)(-1 + z^2)(-1 + z)) で与えられる。
• 二進6次形式の余不変量のポアンカレ系列は (z^10 + z^8 + 3z^7 + 4z^6 + 4z^5 + 4z^4 + 3z^3 + z^2 + 1) / ((z^6 + z^5 + z^4 - z^2 - z - 1)(z^6 + z^5 - z - 1)(-1 + z^2)(-1 + z)^3) である。
• 次数 (1,2,3) の3つの二進形式の共通不変量のポアンカレ系列は (z^12 + z^9 + 2z^8 + 3z^7 + 3z^6 + 3z^5 + 2z^4 + z^3 + 1) / ((-1 + z^4)^2(-1 + z^3)^2(-1 + z)(-1 + z^2)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1)) である。
• 次数2の3つの二進形式の余不変量のポアンカレ系列は (z^4 + 4z^2 + 1) / ((-1 + z)^3(-1 + z^2)^5) である。
• サイズ5のジョルダン標準形が1つのワイツェンボック微分作用素（次数4）の核のポアンカレ系列は (z^2 - z + 1) / ((-1 + z^2)(-1 + z^3)(-1 + z)^2) である。
• 二進4次形式の余不変量の二変数ポアンカレ系列は (t^4 z^2 - z t^2 + 1) / ((-1 + z t^2)(-1 + z t^4)(-1 + z^2)(-1 + z^3)) である。