[論文レビュー] The mapping class group of a disk with infinitely many holes

Paul Fabel|ArXiv.org|Mar 4, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界に収束する無限個の穴を持つディスクの写像類群として、左順序付け可能で完全な距離空間である位相群を構成する。この群は、アーティンの無限交差群 $B_\infty$ をその順序位相における稠密部分群として含み、境界を固定し穴を置き換えるホメオモルフィズムの群の商として実現される。距離と左順序が位相と整合的であり、$B_\infty$ の完備化に群構造を与えるという問題を解決する。

ABSTRACT

A left orderable completely metrizable topological group is exhibited containing Artin's braid group on infinitely many strands. The group is the mapping class group (rel boundary) of the closed unit disk with a sequence of interior punctures converging to the boundary. This resolves an issue suggested by work of Dehornoy.

研究の動機と目的

• Dehornoyの提案である、$B_\infty$ の完備化に群構造を与えることで、$EB_\infty$ のモノイド構造よりも満足のいく結果が得られることを確認すること。
• 順序位相における稠密部分群として $B_\infty$ を含む完全な距離空間である位相群を構成すること。
• 境界に収束する無限個の穴を持つディスクの写像類群に、商位相と整合的な左順序を定義すること。
• ホメオモルフィズムの軌道のハウスドルフ距離と経路成分を用いて、写像類群に完全な距離を定義すること。

提案手法

• 境界を固定し、境界に収束する穴の列を保存するホメオモルフィズムの群 $H_\infty$ を考える。写像類群 $M(H_\infty)$ を $H_\infty / H_\infty^0$ として定義する。
• ホメオモルフィズムの $H_\infty^0$ による軌道のハウスドルフ距離とホメオモルフィズムの一様距離を組み合わせることで、$M(H_\infty)$ 上に完全な距離 $D$ を構成する。
• 有限交差群 $B_n$ からのDehornoyの幾何的左順序を、バナッハの作用が異なる接続弧の最小のインデックスによって持ち上げることで、$M(H_\infty)$ 上に左順序を誘導する。
• 距離 $D$ の一様制御を用いて、1つの位相の開集合が他方の位相の開球を含むことを示すことにより、順序位相と商位相の整合性を検証する。
• $H_\infty^0 = \bigcap H_n^0$ が $H\_\infty$ において閉じていることを利用して、商位相が適切に定義され、距離が完全であることを保証する。
• $B_\infty$ の直接極限構造と単射 $k_n: B_n \to B_{n+1}$ を用いて、$B_\infty$ を $M(H_\infty)$ に稠密に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な距離空間である群を構成し、$B_\infty$ をその順序位相における稠密部分群として含めることで、$B_\infty$ の群的完備化の必要性を解消できるか。
• RQ2 境界に収束する無限個の穴を持つディスクの写像類群に、恒等元の経路成分から誘導される商位相と整合的な左順序が存在するか。
• RQ3 Dehornoyの左順序によって誘導される $B_\infty$ の自然な位相が、完備かつ左順序付け可能な位相群に完備化可能か。
• RQ4 軌道の閉包のハウスドルフ距離とディスク上の一様収束を用いて、写像類群 $M(H_\infty)$ 上に完全な距離を定義できるか。
• RQ5 $H_\infty^0$ が閉部分群の可算交差として表される構造が、$M(H_\infty)$ の位相的・距離的構造に与える影響は何か。

主な発見

• 距離 $D$ が、軌道の閉包のハウスドルフ距離と一様収束に基づいて定義されることにより、写像類群 $M(H_\infty)$ は完全な距離空間である位相群である。
• 群 $M(H_\infty)$ は、商位相と整合的な左順序を備えており、順序位相が距離位相と一致することを保証する。
• アーティンの無限交差群 $B_\infty$ は、順序位相において $M(H_\infty)$ の稠密部分群として埋め込まれており、連続写像ではあるが、位相的埋め込みではない。
• 経路成分 $H_\infty^0$ は $H_\infty$ において閉じている。これは、$H_\infty$ が局所的に連結でないという非自明な事実に基づくが、距離の完全性を保証するために不可欠である。
• 距離 $D$ は、$D(gH_\infty^0, fH_\infty^0) < \varepsilon$ が、$f_1 \in fH_\infty^0$, $g_1 \in gH_\infty^0$, $f_2 \in f^{-1}H_\infty^0$, $g_2 \in g^{-1}H_\infty^0$ が存在して、$\|f_1 - g_1\| < \varepsilon$ および $\|f_2 - g_2\| < \varepsilon$ が $D^2$ 全体で一様に成り立つことと同値であり、これにより完全性が保証される。
• 順序位相と商位相の整合性は、各位相の開集合が他方の位相の距離球を含むことにより確認され、距離 $D$ の制御と外側領域 $D^2 \setminus D_k$ での挙動を用いて検証された。