[論文レビュー] The Marcinkiewicz-type discretization theorems

Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Mathematical Approximation and Integration参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一様ノルムにおけるエントロピー数の推定と確率的チェインニング技法の新規な組み合わせを用いて、有限次元部分空間に属する関数の$L_1$ノルムに対する新しいマルチンキエヴィチ型離散化定理を確立する。主な結果は、$m \ll N(\log N)^{7/2}$ 個の点での離散化が可能であることを示しており、理想状態の$m = N$ に近く、$L_1$および$L_\infty$ の設定において、既存の境界を著しく改善する。

ABSTRACT

The paper is devoted to discretization of integral norms of functions from a given finite dimensional subspace. This problem is very important in applications but there is no systematic study of it. We present here a new technique, which works well for discretization of the integral norm. It is a combination of probabilistic technique, based on chaining, with results on the entropy numbers in the uniform norm.

研究の動機と目的

• 有限次元部分空間に属する関数の積分ノルムの離散化という根本的問題に取り組むこと、特に$L_1$および$L_\infty$ の設定において。
• サンプリング点数の明示的境界を得るための、マルチンキエヴィチ型離散化定理の体系的枠組みを構築すること。
• 理論的離散化と実用的数値積分のギャップを埋めるために、等重み立方則が有効である条件を確立すること。
• 直交行列の部分行列に関する既存の結果を、$L_1$および$L_\infty$ ノルム、特に混合滑らかさをもつ関数クラスにまで拡張すること。
• 関数空間$X_N$における$L_\infty$ におけるエントロピー数が、離散化を可能にする役割を分析すること、特に三角関数およびハイパボリッククロス多項式に対して。

提案手法

• 関数クラス上の確率的過程の上界を制御するために、一様ノルムにおけるエントロピー数の推定と確率的チェインニング技法を組み合わせる。
• 離散化に必要なサンプリング点数の境界を導出する中心的ツールとして、エントロピー数$\varepsilon_k(X_N^1, L_\infty)$ を用いる。
• 確率的チェインニング法を用いて、有限次元部分空間上での経験的$L_1$ノルムと真の$L_1$ノルムとの乖離を制御する。
• $L_2$に基づく知見の基盤として、直交行列の部分行列に関する既知の結果（例えば、ルドルフソンおよびバーツォン-スピルマン-スリヴァスティーヴァの定理）を活用する。
• 高次元におけるエントロピー数の推定に、正規化されたディラック核に基づく辞書型近似スキームを導入する。
• エントロピーおよびチェインニングの議論を用いて、$\mathcal{M}(m,1,\varepsilon)$および$\mathcal{M}^{w}(m,1,\varepsilon)$ 定理に必要な点数$m$ の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元部分空間において、$L_1$ノルムの離散化に必要なサンプリング点数を$N(\log N)^{7/2}$ よりも小さく抑えることは可能か？
• RQ2 $L_\infty$ におけるエントロピー数が、$L_1$ におけるマルチンキエヴィチ型離散化の実現可能性をどの程度制御するか？
• RQ3 ハイパボリッククロス多項式に対して、$\mathcal{M}(m,1)$ を$m \asymp |Q_n|$ で達成することは可能か、それとも$n^{7/2}$ 要因は避けられないか？
• RQ4 $L_\infty$ において既知の否定的結果（$m \gg |Q_n|^{1+c}$ が必須）と比較して、$L_1$ の結果はどのように異なるか？
• RQ5 $d > 2$ に対しても、エントロピー数推定$\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{3/2}(|Q_n|/k)\log(4|Q_n|/k)$ を拡張できるか？

主な発見

• $L_1$ 離散化において、サンプリング点数$m$ は$m \ll N(\log N)^{7/2}$ を満たし、理想状態の$m = N$ に近く、著しく改善された境界を達成する。
• $d=2$ におけるエントロピー数推定$\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{1/2}(|Q_n|/k)\log(4|Q_n|/k)$ を用いて、$L_1$ 離散化の最適境界を導出する。
• $d$ が任意の値に対し、推定$\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{3/2}(|Q_n|/k)\log(4|Q_n|/k)$ が成り立つが、$d=2$ の場合より弱い。
• チェインニング技法が最終的な境界に$n^2$ の要因を寄与させ、エントロピー推定が$n^{3/2}$ を寄与させ、合計の点数に$n^{7/2}$ の要因が生じる。
• $L_\infty$ 離散化において、既知の否定的結果を確認する：$\mathcal{M}(m,\infty)$ に対して$m \gg |Q_n|^{1+c}$ が必須であり、$L_\infty$ 離散化の根本的な困難さを示す。
• $m \geq CN\varepsilon^{-2}$ に対して$X_N(\Omega_M) \in \mathcal{M}^w(m,2,\varepsilon)$ が成り立つという結果は、$L_2$ における重み付き離散化の頑健性を示すが、本稿の焦点は依然として$L_1$ に置かれる。