[論文レビュー] The Martin boundary of a discrete quantum group

Sergey Neshveyev, Lars Tuset|ArXiv.org|Sep 20, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ q $-トレース状態 $ \phi $ による畳み込みを用いて、調和的要素の $ C^* $-代数 $ A_\phi $ を定義することにより、離散量子群におけるマーティン境界理論を構築する。正の調和的要素と $ A_\phi $ 上の正の線形汎関数の間の表現定理を確立し、また、双対量子群 $ \widehat{SU_q(2)} $ のマーティン境界がポドレルの量子同次球面と同型であることを証明し、バイアヌとイズミの先行結果を統合する。

ABSTRACT

We consider the Markov operator P_phi on a discrete quantum group given by convolution with a q-tracial state phi. In the study of harmonic elements x, P_phi(x)=x, we define the Martin boundary A_phi. It is a separable C*-algebra carrying canonical actions of the quantum group and its dual. We establish a representation theorem to the effect that positive harmonic elements correspond to positive linear functionals on A_phi. The C*-algebra A_phi has a natural time evolution, and the unit can always be represented by a KMS state. Any such state gives rise to a u.c.p. map from the von Neumann closure of A_phi in its GNS representation to the von Neumann algebra of bounded harmonic elements, which is an analogue of the Poisson integral. Under additional assumptions this map is an isomorphism which respects the actions of the quantum group and its dual. Next we apply these results to identify the Martin boundary of the dual of SU_q(2) with the quantum homogeneous sphere of Podles. This result extends and unifies previous results by Ph. Biane and M. Izumi.

研究の動機と目的

• 古典的マーティン境界理論を離散量子群の非可換設定に一般化すること。
• 量子群およびその双対の作用を自然に持つ $ C^* $-代数的マーティン境界 $ A_\phi $ を定義すること。
• 正の調和的要素と $ A_\phi $ 上の正の線形汎関数の間の関係を示す表現定理を確立すること。
• 双対量子群 $ \widehat{SU_q(2)} $ のマーティン境界をポドレルの量子同次球面と同定し、先行研究を統合すること。
• GNS表現の $ A_\phi $ から有界調和的要素のフォン・ノイマン代数へのポアソン積分写像を構成し、適切な条件下でそれが同型であることを示すこと。

提案手法

• 離散量子群上での $ q $-トレース状態 $ \phi $ による畳み込みを用いて、マーチン作用素 $ P_\phi = (\phi \otimes \iota)\Delta $ を定義する。
• $ P_\phi $-調和的要素からなる分離可能な $ C^* $-代数としてマーティン境界 $ A_\phi $ を構成する。
• バレイジュの定理を用いて、調和的要素を $ \sum_{n=0}^\infty P_\phi^n(x) $ のようなポテンシャルで近似し、境界の構成を可能にする。
• $ A_\phi $ 上に自然な時間発展を導入し、その単位元がKMS状態によって表現可能であることを示す。
• GNSフォン・ノイマン閉包から有界調和的要素のフォン・ノイマン代数へのu.c.p.写像を構成し、ポアソン積分に類似した性質を持つことを示す。
• 追加の仮定の下で、この写像が量子群およびその双対の作用を尊重する同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散量子群の文脈において、古典理論を一般化してマーティン境界をどのように定義できるか？
• RQ2 マーティン境界 $ A_\phi $ の構造は何か？ そして、量子群およびその双対は、どのように $ A_\phi $ に作用するか？
• RQ3 正の調和的要素は、$ A_\phi $ 上の正の線形汎関数によって表現可能か？ また、KMS状態はその役割を果たすか？
• RQ4 $ A_\phi $ から有界調和的要素へのポアソン積分写像は同型か？ どのような条件下でそうなるか？
• RQ5 双対量子群 $ \widehat{SU_q(2)} $ のマーティン境界は何か？ そして、ポドレルの量子同次球面とはどのように関係するか？

主な発見

• マーティン境界 $ A_\phi $ は、離散量子群およびその双対の作用を自然に持つ分離可能な $ C^* $-代数である。
• 正の調和的要素と $ A_\phi $ 上の正の線形汎関数の間には一対一対応が存在し、表現定理が確立される。
• $ C^* $-代数 $ A_\phi $ は自然な時間発展を備え、その単位元はKMS状態によって表現可能である。
• 追加の仮定の下で、$ A_\phi $ のGNSフォン・ノイマン閉包から有界調和的要素のフォン・ノイマン代数へのu.c.p.写像は同型である。
• $ \widehat{SU_q(2)} $ のマーティン境界は、ポドレルの量子同次球面 $ C(S^2_{q,0}) $ と同型である。
• 同型 $ \sigma: C(S^2_{q,0}) \to \Psi / \hat{A} $ は、双対量子群 $ (\hat{A}, \hat{\Delta}) $ の右コアクションを交換させ、$ \Psi / \hat{A} $ 上の状態 $ \nu $ は、Radon-Nikodym核 $ (K \otimes \iota)\hat{\Delta}(I_0) $ を持つ擬不変性を有する。