[論文レビュー] The martingale representation in a progressive enlargement of a filtration with jumps

Kun Tian, Dewen Xiong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、デフォルト時刻と損失を組み込んだ段階的な拡大フィルトレーションにおいて、密度仮説の下で明示的なマルティンゲール表現定理を確立する。条件付き密度過程と生存過程を導出し、PおよびP*測度の下でF-マルティンゲールの分解とG-マルティンゲールの予測可能表現を可能にし、それぞれの測度で異なる結果を得る。

ABSTRACT

In this paper, we assume that the filtration $\bb F$ is generated by a $d$-dimensional Brownian motion $W=(W_1,...,W_d)'$ as well as an integer-valued random measure $\mu(du,dy)$. The random variable $ tau$ is the default time and $L$ is the default loss. Let $\mathbb G=\{\scr G_t;t\geq 0\}$ be the progressive enlargement of $\bb F$ by $( tau,L)$, i.e, $\bb G$ is the smallest filtration including $\bb F$ such that $ tau$ is a $\bb G$-stopping time and $L$ is $\scr G_ tau$-measurable. Under the density hypothesis, we consider the $\bb G$-decomposition of a $(P,\bb F)$ martingale and the representation of a $\bb G$-martingale. We characterize the conditional density process by $p_s(s,l)$, $ heta_1(u;s,l)\bb I_{u>s}$ and $ heta_2(u,y;s,l)\bb I_{u>s}$, which allows us to describe the survival process $G$ explicitly. Then we give the explicit $\bb G$-decomposition of a $\bb F$ martingale and obtain the predictable representation theorems both for a $(P,\bb G)$-martingale and a $(P^*,\bb G)$-martingale, which are different as shown in Callegaro, Jeanblanc and Zargari(2010) $^{ ext{\cite{Callegaro-Jeanblanc-Zargari(2010)}}}$.

研究の動機と目的

• デフォルト時刻τとデフォルト損失Lによるフィルトレーションの進行的拡大を分析すること。
• 密度仮説の下で、条件付き密度過程p_s(s,l)、θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}、およびθ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}を導出すること。
• これらの密度過程を用いて生存過程Gを明示的に特徴付けること。
• 物理測度Pの下でF-マルティンゲールのG-分解を確立すること。
• (P, G)-マルティンゲールおよび(P*, G)-マルティンゲールの予測可能表現定理を証明し、それらの構造的差異を強調すること。

提案手法

• d次元のブラウン運動Wと整数値をとる確率測度μによって生成されるフィルトレーションFをモデル化する。
• デフォルト時刻τとデフォルト損失LによるFの進行的拡大Gを定義し、τがG-停止時刻であり、LがG_τ-可測であることを保証する。
• デフォルト時刻と損失の条件付き密度過程を特徴付けるために密度仮説を仮定する。
• 密度過程p_s(s,l)、θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}、およびθ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}を用いて生存過程Gを明示的に導出する。
• ギルサノフの定理とG-マルティンゲール分解技術を適用して、F-マルティンゲールのG-分解を導出する。
• (P, G)-および(P*, G)-マルティンゲールの予測可能表現定理を確立し、それらの構造的差異を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプを伴うフィルトレーションの進行的拡大において、デフォルト時刻と損失を含めた条件付き密度過程はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 密度仮説の下で、密度過程を用いて生存過程Gの明示的形はどのように表されるか？
• RQ3 測度PとP*の下で、F-マルティンゲールのG-分解はどのように異なるか？
• RQ4 G-マルティンゲールがPおよびP*の下で予測可能表現をもつための条件は何か？
• RQ5 密度過程θ₁およびθ₂は、G-マルティンゲールの表現にどのように寄与するか？

主な発見

• 条件付き密度過程はp_s(s,l)、θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}、およびθ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}によって完全に特徴付けられ、生存過程Gの明示的計算を可能にする。
• 生存過程Gはこれらの密度過程を用いて明示的に記述され、デフォルトインテンシティのダイナミクスに対して取り扱いやすい形を与える。
• 密度仮説の下で、(P, F)-マルティンゲールのG-分解が閉形式で導出される。
• (P, G)-マルティンゲールの予測可能表現定理が確立され、ブラウン運動およびジャンプ成分を用いた表現が示される。
• (P*, G)-マルティンゲールの予測可能表現定理が別個に導出され、Pの場合とは異なる構造的性質を示し、Callegaro, Jeanblanc, and Zargari (2010) で指摘された差異を裏付ける。
• 結果は、同じフィルトレーション拡大の下でも、PおよびP*の下でのG-マルティンゲールの表現が根本的に異なることを示している。