[論文レビュー] The Maslov index in symplectic Banach spaces

Bernhelm Booß–Bavnbek, Chaofeng Zhu|Jun 3, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 84被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、無限次元的Fredholm対のラグランジュ部分空間の曲線を有限次元的設定に還元する内在的なシンプレクティック還元を用いて、シンプレクティックバナッハ空間におけるマスロフ指数の普遍的定義を確立する。マスロフ指数がシンプレクティック還元に関して不変であることを証明し、境界付き多様体上での主記号が変化する楕円型作用素および適切に定義された境界条件に対して一般化されたデスパーンスペクトルフロー公式を導出する。

ABSTRACT

We consider a curve of Fredholm pairs of Lagrangian subspaces in a fixed Banach space with continuously varying (weak) symplectic structures. Assuming vanishing index, we obtain intrinsically a continuously varying splitting of the total Banach space into pairs of symplectic subspaces. Using such decompositions we define the curve's Maslov index by symplectic reduction to the classical finite-dimensional case. We prove the transitivity of repeated symplectic reductions and obtain the invariance of the Maslov index under symplectic reduction, while recovering all the standard properties of the Maslov index. As an application, we consider curves of elliptic operators which have varying principal symbol, varying maximal domain and are not necessarily of Dirac type. For this class of operator curves, we derive a desuspension spectral flow formula for varying well-posed boundary conditions on manifolds with boundary and obtain the splitting of the spectral flow on partitioned manifolds.

研究の動機と目的

• 無限次元的設定における古典的マスロフ指数理論の破綻を、弱くかつ変化するシンプレクティック構造を有する状況で解消すること。
• 標準的性質を保ちつつ、シンプレクティックバナッハ空間における内在的かつ計算可能なマスロフ指数の定義を構築すること。
• 主記号と最大定義域が変化する楕円型作用素の曲線に対する一般化されたスペクトルフロー公式を確立すること。
• マスロフ指数がシンプレクティック還元に関して不変であること、および繰り返し還元の推移的性を証明すること。
• このフレームワークを分割された多様体に適用し、適切に定義された境界値問題におけるスペクトルフローの分解を導出すること。

提案手法

• 固定されたバナッハ空間を、連続的に変化するシンプレクティック部分空間へと分解するシンプレクティック還元を用い、問題を有限次元に還元する。
• シンプレクティック還元により古典的有限次元ケースへとマスロフ指数を定義し、計算可能性と不変性を保証する。
• 自己随伴Fredholm関係および境界付き多様体上でのソボレフ空間における楕円型微分作用素の曲線に理論を適用する。
• カルデロン射影とコーシー・データ空間を用いて、適切に定義された境界条件の文脈でスペクトルフローとマスロフ指数を関連付ける。
• 閉部分空間の摂動理論とギャップ位相を用いて、変化するシンプレクティック構造下でのラグランジュ部分空間の連続性を保証する。
• シンプレクティック解析を介してマスロフ指数と自己随伴拡張族のスペクトルフローとを結びつけることで、デスパーンスペクトルフロー公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱くかつ連続的に変化するシンプレクティック構造を有する無限次元的シンプレクティックバナッハ空間において、マスロフ指数を一貫的に定義する方法は何か？
• RQ2 マスロフ指数がシンプレクティック還元に関して不変であるための条件は何か？ また、還元の推移的性はどのように成立するか？
• RQ3 主記号と定義域が変化する楕円型作用素の曲線に対して、一般化されたスペクトルフロー公式を導出可能か？
• RQ4 分割された多様体上ではスペクトルフローはどのように分解され、マスロフ指数はこの分解において果たす役割は何か？
• RQ5 ユニタリ生成子や有限次元近似に依存せずに、マスロフ指数を内在的に計算できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 弱くかつ変化するシンプレクティック構造が存在する中でも、マスロフ指数はシンプレクティック還元による有限次元還元を介して内在的に定義可能である。
• マスロフ指数はシンプレクティック還元に関して不変であり、繰り返し還元も推移的であり、指数値が保存される。
• 境界付き多様体上での自己随伴的で適切に定義された楕円型境界値問題の曲線に対して、一般化されたデスパーンスペクトルフロー公式が導出された。
• 分割された多様体上ではスペクトルフローが分解され、各成分がシンプレクティック還元の各ステップに対応する。
• ラグランジュ部分空間のFredholm対の曲線のマスロフ指数は、関連する自己随伴Fredholm拡張族のスペクトルフローに等しい。
• このフレームワークは、ディラック型でない楕円型作用素にも適用可能であり、最大定義域や主記号が変化する作用素に対しても適用可能である。