[論文レビュー] The Mass of the Oppenheimer-Snyder Black Hole

Abhas Mitra|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、オッペンハイマー＝サイトンの崩壊モデルを再分析し、元の解における対数時間方程式の数学的制約に基づき、生成されるブラックホールの重力的質量はゼロでなければならないと主張する。y ≥ 1（ここで y = r_b / 2M）の条件は、M = 0 でない限り、閉じ込められた表面が形成されないことを示しており、一般相対性理論の正確な定式化下では有限質量のブラックホールはこのモデルから生じえないことを示唆している。

ABSTRACT

The only instance when the General Relativistic (GTR) collapse equations have been solved (almost) exactly to explicitly find the metric coefficients is the case of a homogeneous spherical dust (Oppenheimer and Snyder in 1939 in Phy. Rev. 56, 455). The equation (37) of their paper showed the formation of an event horizon for a collapsing homogeneous dust ball of mass M in that the circumference radius the outermost surface, r_b = r_0= 2M in a proper time proportional to r_0^{-1/2} in the limit of large Schrarzschild time t= infinity. But Eq.(37) was approximated from the Eq. (36) whose essential character is t = log (y+1/y-1), where, at the boundary of the star y=r_b/ r_0 = r_b /2 M. And since the argument of a logarithmic function can not be negative, one must have y >= 1 or 2M/r_b <= 1. This shows that, atleast, in this case (i) trapped surfaces are not formed, (ii) if the collapse indeed proceeds upto r=0, we must have M=0, and (iii) proper time taken for collapse =infinity. Thus, the gravitational mass of OS black holes are unique and equal to zero. In the preceding paper (astro-ph/9904162), we assumed the existence of a finite mass BH and studied its properties in terms of Kruskal-Szekeres coordinates. And we showed that the radial geodesic of a material particle which must be timelike at r=2M, if M >0, actually becomes null. And this independently showed that BHs have unique mass, M=0.

研究の動機と目的

• 有限質量ブラックホール形成の物理的整合性を評価するため、元のオッペンハイマー＝サイトン方程式を再表現・再分析すること。
• 崩壊方程式の完全解の下で、イベントホライズン形成条件 r_b = 2M が数学的・物理的に妥当かどうかを調査すること。
• t = log(y + 1/y - 1) の対数時間方程式が、閉じ込められた表面の存在およびブラックホールの最終的質量に与える影響を検討すること。
• 一般的に認識されているように、オッペンハイマー＝サイトンモデルが有限質量ブラックホールを生成するという見解に反論し、代わりに M = 0 が唯一整合的な解であると提唱すること。
• M > 0 の場合、r = 2M における時空的径方向測地線が光的（null）になることを示し、M = 0 でない限り矛盾を引き起こすため、M = 0 が唯一の整合的解であると示すこと。

提案手法

• 1939年のオッペンハイマーとサイトンの論文の式 (36) の正確な形、すなわち t = log(y + 1/y - 1) を分析する。ここで y = r_b / 2M である。
• 対数の引数が非負でなければならないという数学的制約を適用し、y ≥ 1 または同値に 2M / r_b ≤ 1 を要求する。
• y ≥ 1 は 2M / r_b ≤ 1 を意味し、r_b → 0 のとき M > 0 では満たせないため、M = 0 でない限り閉じ込められた表面は形成されないことを導出する。
• クルスクァル＝ゼーケレス座標を用いて、r = 2M における径方向測地線の性質を分析し、M > 0 の場合、時空的経路が光的になることを示す。
• 元の論文で使われた近似式 (37) と正確な対数形 (36) を比較し、有限質量 M の仮定に一貫性のない点を明らかにする。
• 一般相対性理論の完全な方程式の下で、唯一整合的な解は M = 0 であり、したがってこの崩壊モデルから有限質量ブラックホールは形成されないという結論に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 y < 1 のとき、対数時間方程式 t = log(y + 1/y - 1) がイベントホライズンの形成を許容するか？
• RQ2 実数の対数を定義するための条件 y ≥ 1 が、崩壊するダスト球の質量 M に課す制約は何か？
• RQ3 M > 0 の場合、2M / r_b ≤ 1 の条件があるにもかかわらず、オッペンハイマー＝サイトンモデルで閉じ込められた表面が形成可能か？
• RQ4 M > 0 の場合、r = 0 への崩壊に要する固有時間は何か？ そしてそれは有限のままであるか？
• RQ5 r = 2M で時空的である径方向測地線が、M > 0 の場合に光的になるのはなぜか？ そしてこれは有限質量ブラックホールの存在に何を意味するか？

主な発見

• 対数時間方程式 t = log(y + 1/y - 1) は y ≥ 1 を要求し、これにより 2M / r_b ≤ 1 が得られる。r_b → 0 のとき、M > 0 では満たせないため、M = 0 でない限り成立しない。
• 閉じ込められた表面の形成は、M = 0 でない限りオッペンハイマー＝サイトンモデルでは不可能であり、y ≥ 1 の条件が y < 1 を禁止するためである。
• M > 0 の場合、r = 0 への崩壊に要する固有時間が無限大に発散する。これは、正確な解の下では特異点に有限時間で到達できないことを示唆する。
• M > 0 の場合、r = 2M で時空的である径方向測地線が光的になる。これは質量を持つブラックホールの要件に反するため、M = 0 が唯一整合的な解であると示唆する。
• クルスクァル＝ゼーケレス座標を用いた解析により、M > 0 の仮定が r = 2M で光的測地線を生じることを確認し、これは質量を持つブラックホールとは整合しない。
• オッペンハイマー＝サイトンの崩壊方程式の唯一整合的な解は、重力的質量 M = 0 のブラックホールである。