[論文レビュー] The Master Differential Equations for the 2-loop Sunrise Selfmass Amplitudes

M. Caffo, H. Czyż+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 1998

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena被引用数 71

ひとこと要約

本稿では、任意の内部質量をもつ$n$次元時空における二ループsunrise自己エネルギー図の4つのマスターフェイノン積分について、外部運動量$p^2$に関するマスターディファレンシャル方程式系を導出する。統合による部分積分（IBP）恒等式とスケーリング法を用いて、$p^2 = 0$における振幅の解析的評価、$p^2$の近くでの展開、$n-4$の近くでの四次元近傍、および大きな$p^2$における$1/p^2$展開を可能にする正確な微分方程式が得られる。二つの質量がゼロである場合を含むすべてのケースについて明示的な結果が得られる。

ABSTRACT

The master differential equations in the external square momentum p^2 for the master integrals of the two-loop sunrise graph, in n-continuous dimensions and for arbitrary values of the internal masses, are derived. The equations are then used for working out the values at p^2 = 0 and the expansions in p^2 at p^2 =0, in (n-4) at n to 4 limit and in 1/p^2 for large values of p^2 .

研究の動機と目的

• 二ループsunrise自己エネルギー図のマスターフェイノン積分について、$n$連続次元における$p^2$に関する閉じた一階微分方程式系を導出すること。
• $p^2 = 0$におけるマスターフェイノン積分の解析的評価、および$p^2$、$n-4$、$1/p^2$の各展開を可能にすること。
• 二つの質量がゼロである場合を含む任意の質量配置におけるsunrise振幅の体系的フレームワークを提供すること。
• 統合による部分積分（IBP）恒等式を用いて、即時に使用可能な再帰的および還元公式を生成し、数値的および解析的計算を容易にすること。

提案手法

• フェルミオンパラメータ表現の同次性を活用して、スケーリング法をマスターフェイノン積分に適用し、微分方程式系を導出する。
• 統合による部分積分（IBP）恒等式を用いて、すべての高ランク積分を4つのマスターフェイノン積分$F_0, F_1, F_2, F_3$に還元する。
• スケーリング方程式を用いて、各マスターフェイノン積分について、質量微分と$n$次元運動学を含む$p^2$に関する一階線形微分方程式系を導出する。
• 二つの質量がゼロである特別な場合に、微分方程式を解析的に解き、閉形式の表現を得る。
• 微分方程式と再帰関係を用いて、$p^2 = 0$の近くでの$p^2$の級数展開、$n=4$の近くでの$n-4$の展開、および大きな$p^2$における$1/p^2$の展開を実装する。
• コンピュータ代数システムFORMを用いて、IBP恒等式の導出と積分のマスターフェイノン積分への還元を自動化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の内部質量をもつ$n$次元における二ループsunrise自己エネルギー図のマスターフェイノン積分を支配する$p^2$に関する完全な微分方程式系は何か？
• RQ2 導出された微分方程式を用いて、$p^2 = 0$におけるマスターフェイノン積分の値をどのように計算できるか？
• RQ3 $p^2 = 0$の近くでの$p^2$の級数展開、$n=4$の近くでの$n-4$の展開、および大きな$p^2$における$1/p^2$の展開について、マスターフェイノン積分の解析的展開は何か？
• RQ4 二つの内部質量がゼロである場合に、微分方程式を解析的に解けるか？その結果として得られる閉形式の表現は何か？
• RQ5 統合による部分積分恒等式を体系的に用いて、すべての振幅を4つのマスターフェイノン積分に還元する方法は何か？

主な発見

• 任意の$n$および内部質量に対して有効な、$p^2$に関する一階線形常微分方程式系として、sunrise自己エネルギーのマスターディファレンシャル方程式が導出された。
• 微分方程式と既知の境界条件を用いて、$p^2 = 0$におけるマスターフェイノン積分の値が解析的に得られた。
• $p^2 = 0$の近くでのマスターフェイノン積分の展開は、高次の項まで計算され、文献に既知の結果と一致した。
• 四次元近傍での$n-4$の展開は、任意の$p^2$について導出され、紫外・赤外特異性を体系的に計算する方法を提供した。
• 大きな$p^2$における$1/p^2$展開は解析的に計算され、主要項が既知の漸近的挙動と一致した。
• 二つの質量がゼロである特別な場合に、微分方程式は正確に解かれ、マスターフェイノン積分が超幾何関数を用いて閉形式で得られた。