[論文レビュー] The $\mathcal C^{2,α}$ estimate of complex Monge-Ampere equation

Sławomir Dinew, Xi Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、解 $u$ が $\mathcal{C}^{1,1}$ であり、右辺 $f$ が正かつ $\mathcal{C}^\alpha$-ホルダー連続であるという仮定の下で、複素モンジュ・アンペール方程式 $\det(u_{i\bar{j}}) = f$ の解に対して $\chi^{2,\alpha}$ 正則性を確立する。証明はヴァンの方法を Bedford-Taylor の内部 $\mathcal{C}^{1,1}$ 評価を用いて適応し、コンパクト部分集合上で事前評価として $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ 界を導出する。その依存関係は $n$, $\alpha$, $\lambda$, $\|f\|_{\mathcal{C}^\alpha}$, および境界からの距離に依存する。

ABSTRACT

We prove that any $\mathcal C^{1,1}$ solution to complex Monge-Ampère equation $det(u_{i\bar{j}})=f$ with $0

研究の動機と目的

• 解 $u$ が既に $\mathcal{C}^{1,1}$ であり、右辺 $f$ が正かつ $\mathcal{C}^\alpha$-ホルダー連続であるとき、複素モンジュ・アンペール方程式の解について内部的 $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ 正則性を確立すること。
• 凸解析の幾何的道具が利用できない複素設定において、カファレッリの実モンジュ・アンペール正則性理論を拡張すること。
• コンパクト部分集合 $K \Subset \Omega$ における $\|u\|_{\mathcal{C}^{2,\alpha}(K)}$ の事前評価を、$n$, $\alpha$, $\lambda$, $\|f\|_{\mathcal{C}^\alpha}$, および $\text{dist}(K, \partial\Omega)$ に依存する形で提供すること。
• ヴァンの方法が複素設定に適用可能であることを示し、その鍵となる入力として Bedford-Taylor の $\mathcal{C}^{1,1}$ 評価を用いること。

提案手法

• 実モンジュ・アンペール方程式に用いられたヴァンの方法を、Bedford-Taylor の内部 $\mathcal{C}^{1,1}$ 評価を基盤とする複素設定に適応する。
• 領域を半径 $\rho^k d$ の球に二分木的分解することで、問題を局所化し、二階微分を制御する。
• ホルダー連続な右辺を持つ線形化方程式に対するシューラー内部評価を用い、特に重複する球における差 $\widetilde{u}_k - \widehat{u}_k$ の評価を行う。
• 二階微分のホルダー半ノルムを、差 $|w_{st}(x) - w_{st}(y)|$ を三つの部分に分割することにより推定する：尾部誤差、局所的偏差、重複領域間の交差差分。
• 非線形性に対処するため対数変換 $\log f$ を適用し、$f$ の $\mathcal{C}^\alpha$ 正則性を活用して $|\log f(x) - \log f(y)|$ を $|x-y|^\alpha$ で制御する。
• 幾何的減衰 $\rho^{k\alpha}$ を用いた二階微分の級数展開における近似誤差を制御し、収束性とホルダー制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実モンジュ・アンペール方程式における $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ 正則性結果を、解と右辺に関する最小限の仮定の下で複素設定へ拡張可能か？
• RQ2 解の $\mathcal{C}^{1,1}$ 正則性が、$f$ が $\mathcal{C}^\alpha$ かつ正である場合に $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ 正則性を導くのに十分か？
• RQ3 凸性の道具が欠如する複素モンジュ・アンペール方程式においても、二分木的分解とシューラー評価に依存するヴァンの方法を適応可能か？
• RQ4 $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ ノルムのデータ依存性、特に $\|f\|_{\mathcal{C}^\alpha}$ と境界からの距離にどのように依存するか？

主な発見

• 任意の $\mathcal{C}^{1,1}$ 解 $u$ は、$f \geq \lambda > 0$ かつ $f \in \mathcal{C}^\alpha(\Omega)$ ($\alpha \in (0,1)$) を満たす複素モンジュ・アンペール方程式 $\det(u_{i\bar{j}}) = f$ に対して、必然的に $\mathcal{C}^{2,\alpha}(\Omega)$ に属する。
• 任意の相対コンパクトな部分集合 $K \Subset \Omega$ において、$u$ の $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ ノルムは $n$, $\alpha$, $\lambda$, $\|f\|_{\mathcal{C}^\alpha(\Omega)}$, および $\text{dist}(K, \partial\Omega)$ に依存する定数によって上から抑えられる。
• 証明は Bedford-Taylor の内部 $\mathcal{C}^{1,1}$ 評価に強く依存しており、$u \in \mathcal{C}^{1,1}$ であるという仮定を正当化する。
• 近似列ではなく解そのものに直接作業することで、複素設定における凸性の道具の欠如を克服した。
• 議論は、$f$ がディニ連続の場合に拡張され、$D^2u$ がディニ連続になることが示され、$f$ がリプシッツ連続の場合には $D^2u$ が対数リプシッツ連続になる。