[論文レビュー] The Mathematical Basics and the Results of the Theory of physical structures

Г. Г. Михайличенко, Alexander Borodin|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2016

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ひとこと要約

この独著は、物理的構造理論（TPS）の数学的基盤を形式化する。TPSはユーリ・イワンォヴィチ・クラコフによって考案された枠組みであり、点の集合上の幾何的構造を通じて物理法則を分類することを目的としている。本稿では、『ヒープ』（三項代数的構造）の4つの定義の同値性を確立し、物理的系における現象的対称性がクラインのエルランゲン・プログラムに従い群的対称性に対応することを示している。これにより、幾何的および物理的解釈を伴う物理法則の明確な代数的基盤が提供される。

ABSTRACT

The theory of Physical Structures (TPS) was put forward by Professor Yu.I. Kulakov for the sake of classifying the laws of Physics. The history of the development of that theory is given in his monograph [1]. A physical structure is a geometry of one or two sets whose metric function assigns a number to every pair of points. Its phenomenological symmetry, under Kulakov, means that for every collection of some finite number of points all of their reciprocal distances are functionally related. Such geometries are endowed with a group symmetry under Klein, which is equivalent to the phenomenological symmetry, and many of them have an essential physical interpretation. That is why they are to be defined precisely and explored as purely mathematical objects. In this monograph we treat the mathematical basics of the TPS and present the results of attempts at classification that have been obtained by now. We hope that the monograph will be of interest for research workers and teachers, senior and post graduate students, as well as to all those interested in algebra, geometry and theoretical physics who would like to use the TPS in their research projects or could want to contribute to the development of its mathematical apparatus.

研究の動機と目的

• 物理的構造理論（TPS）の数学的基盤を厳密に提供すること。TPSは物理法則を分類するための枠組みである。
• 物理的構造を、1つまたは2つの集合上の幾何学とし、点の対に数を割り当てる計量関数を用いて形式化すること。
• TPSの中心的役割を果たす『ヒープ』—三項代数的構造—の複数の定義の同値性を確立することで、その代数的定式化を統一すること。
• 物理的系における現象的対称性が群的対称性を示すことの証明を行い、クラインのエルランゲン・プログラムに整合することを示すこと。
• 代数的恒等式と全射性条件を用いて、TPSの整合性と数学的整合性を証明することで、理論物理学におけるTPSの応用を支援すること。

提案手法

• 物理的構造を、点の三つ組に対して数を割り当てる三項演算子 ϕ を持つ、1つまたは2つの集合上の幾何学として定義する。
• 現象的対称性の原則を導入する：有限個の点の集合において、すべての相互距離が関数的に関係している。
• 恒等式 (5) と (6) を用いて、三項演算子 ϕ の代数的性質を特徴づけ、引数の置換に対して一貫性を保証する。
• 強い全射性（条件 B）とその弱い版（条件 C）を導入し、それらが主要な方程式の解の存在を保証する役割を果たすことを証明する。
• 恒等式 (5)、(6)、(8) または条件 B と C を満たす三項代数的構造としての『ヒープ』の4つの同値な定義を、補題と定理を用いて確立する。
• 群論的推論を用いて、現象的対称性が群的対称性を示すことの証明を行い、TPSをクラインのエルランゲン・プログラムに結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的および代数的構造を用いて、物理法則を体系的に分類する方法は何か？
• RQ2 三項演算子 ϕ が物理的構造における一貫性と関数的閉包性を保証するために満たすべき代数的性質は何か？
• RQ3 恒等式 (5)、(6)、(8) は互いにどのように関係し合い、ヒープを定義する役割を果たすか？
• RQ4 物理的系における現象的対称性と群的対称性の関係は何か？
• RQ5 恒等式または全射性条件によって定義されるヒープの異なる定義は論理的に同値か？

主な発見

• 恒等式 (5)、(6)、(8) および全射性条件 B と C に基づくヒープの4つの定義は、定理2により論理的に同値であることが証明された。
• 恒等式 (5) と (6) は、ϕ の三項演算子が引数の置換に対して一貫して動作することを保証するために必要かつ十分である。
• 全射性条件 B と C が恒等式 (6) と同値であることが示され、条件 C はより弱いが、より自然でない表現である。
• 条件 C′ が成り立つ限り、方程式 p = ϕ(x, q, q) の解が存在することが保証される。
• 物理的系における現象的対称性は、クラインのエルランゲン・プログラムに従い、群的対称性と同値である。これにより、物理法則に深い代数的・幾何的基盤が与えられる。
• 本理論は、計量的および対称的関係の文脈において、理論物理学および幾何学に応用可能な整合的な代数的フレームワークを提供する。