[論文レビュー] The Mathematical Parallels Between Packet Switching and Information Transmission

Tony T. Lee|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Interconnection Networks and Systems参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、通信チャネル内のノイズとパケットスイッチ内の競合が、類似した確率的挙動を示すことを示すことによって、パケットスイッチングとデジタル伝送の間の数学的類似性を確立している。情報理論におけるエラー訂正、チャネル符号化、およびソース符号化の手法が、スイッチングネットワークにおけるスケジューリング、ルーティング、および負荷分散の直接的な類似物であることを示しており、主な結果としてClosネットワークにおける指数的損失低減と、スイッチ負荷に対するポissonベースの信号対雑音比モデルが得られている。

ABSTRACT

All communication networks comprise of transmission systems and switching systems, even though they are usually treated as two separate issues. Communication channels are generally disturbed by noise from various sources. In circuit switched networks, reliable communication requires the error-tolerant transmission of bits over noisy channels. In packet switched networks, however, not only can bits be corrupted with noise, but resources along connection paths are also subject to contention. Thus, quality of service (QoS) is determined by buffer delays and packet losses. The theme of this paper is to show that transmission noise and packet contention actually have similar characteristics and can be tamed by comparable means to achieve reliable communication, and a number of analogies between switching and transmission are identified. The sampling theorem of bandlimited signals provides the cornerstone of digital communication and signal processing. Recently, the Birkhoff-von Neumann decomposition of traffic matrices has been widely applied to packet switches. With respect to the complexity reduction of packet switching, we show that the decomposition of a doubly stochastic traffic matrix plays a similar role to that of the sampling theorem in digital transmission. We conclude that packet switching systems are governed by mathematical laws that are similar to those of digital transmission systems as envisioned by Shannon in his seminal 1948 paper, A Mathematical Theory of Communication.

研究の動機と目的

• 通信ネットワークにおける伝送ノイズとパケット競合の数学的取り扱いを統一すること。
• 情報理論とスイッチングネットワーク設計の間の構造的および確率的類似性を特定すること。
• チャネル符号化やソース符号化といったシャノン理論的原則を、パケットスイッチングおよびリソース割り当ての分野に拡張すること。
• エントロピーと統計力学を用いて、現代のパケットスイッチドネットワークにおけるサービス品質（QoS）の理論的基盤を提供すること。
• スイッチにおけるスケジューリング、バッファリング、ルーティングが、デジタル伝送と同一の数学的枠組みで分析可能であることを示すこと。

提案手法

• パケット分布のボルツマンモデルを用いて、パケットスイッチの疑似信号対雑音比（PSNR）を提案する。
• スイッチの負荷をポアソン分布に従う確率変数としてモデル化し、出力のビジー状態の確率をポアソン分布から導出する。
• 中心極限定理を適用して、大規模なN×Nクロスバースイッチにおける信号電力と雑音電力が正規分布に従うことを示す。
• Closネットワークにおけるデフレクションルーティングと二値対称チャネルにおけるランダム符号化の類似性を示し、損失確率の指数的減少を示す。
• ハルの条件とエクスパンダーグラフを用いて非ブロッキングルート割り当てをモデル化し、エラーチェックコードとの類似性を示す。
• シプサー＝スプレイマンの復号アルゴリズムをBenesネットワークのルート割り当てに拡張し、符号復号とパス選択の対応関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伝送ノイズとパケット競合は、その確率的挙動において、どのように数学的に比較できるか？
• RQ2 情報理論におけるチャネル符号化およびソース符号化の原則は、パケットスイッチドネットワークにおけるリソース割り当ておよびスケジューリングに適用可能か？
• RQ3 スイッチにおけるバッファ遅延、パケット損失、負荷の間の数学的関係は何か？ そして、信号対雑音比と類似した形でどのようにモデル化できるか？
• RQ4 Closネットワークにおけるデフレクションルーティングと二値対称チャネルにおけるランダム符号化は、誤り（損失）確率の観点でどのように比較できるか？
• RQ5 二重確率的交通行列のバーキホフ＝フォン・ノイマン分解は、デジタル伝送におけるサンプリング定理のスイッチング版として、どの程度見なせるか？

主な発見

• パケットスイッチの負荷は、ボルツマン分布から導かれる疑似信号対雑音比（PSNR）としてモデル化可能であり、出力ビジー状態の確率は1−e−ρで与えられる。
• Closネットワークにおけるデフレクションルーティングは、ランダム符号化下での二値対称チャネルにおける指数的誤り減少と類似し、損失確率の指数的低下をもたらす。
• ランダムルーティングを用いたClosネットワークにおける損失確率は、二値対称チャネルにおける誤り確率と数学的に同等であり、ノイジィチャネル符号化定理を支持する。
• パケットスイッチにおけるスケジューリングは、ソース符号化と同様にエントロピー不等式によって制限され、滑らかさ制約における根本的な類似性を示す。
• 二重確率的交通行列のバーキホフ＝フォン・ノイマン分解は、スイッチングの複雑さ低減において、デジタル伝送におけるサンプリング定理と類似した役割を果たす。
• 大規模なN×Nクロスバースイッチにおいて、信号電力と雑音電力は中心極限定理により正規分布に従い、平均と分散が導出される。