[論文レビュー] The Mathematical Structure of the Second Law of Thermodynamics

Elliott H. Lieb, Jakob Yngvason|ArXiv.org|Apr 3, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、統計力学や熱や温度といった熱力学的概念に依存せず、平衡状態間の断熱的到達可能性関係から、加法的かつ広義のエントロピー関数 $S$ の存在と一意性を導出することにより、熱力学第二法則にきわめて厳密な公理的基礎を提供する。主な貢献は、断熱遷移の順序論的性質が第二法則を導くことを数学的に証明し、エントロピーを微視的モデルや統計集団に依存しない、根本的なマクロ的不変量として確立することにある。

ABSTRACT

The essence of the second law of classical thermodynamics is the `entropy principle' which asserts the existence of an additive and extensive entropy function, S, that is defined for all equilibrium states of thermodynamic systems and whose increase characterizes the possible state changes under adiabatic conditions. It is one of the few really fundamental physical laws (in the sense that no deviation, however tiny, is permitted) and its consequences are far reaching. This principle is independent of models, statistical mechanical or otherwise, and can be understood without recourse to Carnot cycles, ideal gases and other assumptions about such things as `heat', `temperature', `reversible processes', etc., as is usually done. Also the well known formula of statistical mechanics, S = -\sum p log p, is not needed for the derivation of the entropy principle. This contribution is partly a summary of our joint work (Physics Reports, Vol. 310, 1--96 (1999)) where the existence and uniqueness of S is proved to be a consequence of certain basic properties of the relation of adiabatic accessibility among equilibrium states. We also present some open problems and suggest directions for further study.

研究の動機と目的

• 平衡状態間の断熱的到達可能性関係に基づき、第二法則を統計力学や温度概念に依存しない数学的定理として確立すること。
• 統計力学、熱、温度、可逆過程を一切用いずに、加法的かつ広義のエントロピー関数 $S$ の存在と一意性を証明すること。
• 第二法則が、理想気体や統計集団といったモデルに依存しない、自然の根本的法則であることを明確にすること。
• 統計力学よりも論理的に優先される第二法則の基礎を提供し、後者により前者を説明可能にするようにすること。

提案手法

• 平衡状態の集合に、$X \prec Y$ を「$X$ が断熱過程によって $Y$ から到達可能である」と定義する順序関係 $\prec$ を定義する。
• 推移性、反射性、および断熱遷移の存在を仮定して、状態空間の構造を導出する。
• 「$X \prec Y$ であることと $S(X) \leq S(Y)$ であることとは同値である」ような実数値関数 $S$ の存在が、エントロピー原理と同値であることを証明する。
• 単純系の性質と断熱過程の性質を用いて、$S$ が合成系において加法的かつ広義的であることを確立する。
• 順序集合の数学的構造と、有界集合における最大元の存在を用いて、$S$ の一意性を導出する。
• エントロピー関数が、統計力学や量子力学といった微視的理論に依存しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断熱的到達可能性に関する最小限の公理から、温度、熱、可逆性を一切用いずに、第二法則を導出可能か？
• RQ2 エントロピー関数 $S$ の存在と一意性は、統計力学的モデルやボルツマンの公式 $S = -\sum p_i \ln p_i$ に依存しない論理的独立性を持つか？
• RQ3 第二法則の背後にある数学的構造は何か。その結果、エントロピーの増加がすべての可能な断熱過程を特徴づけるか？
• RQ4 第二法則は、ミクロ的・ミクロ的スケール、すなわち中間スケールや原子的スケールに対しても、ロバストに成立する形でどのように定式化できるか？
• RQ5 第二法則は、原子の存在や運動に関する何らかの含意を示唆するのか。それとも、根本的にマクロ的法則に限られるのか？

主な発見

• エントロピー関数 $S$ は、断熱的到達可能性の公理、推移性、および平衡状態の構造の結果として、存在し、かつ一意的である。
• エントロピー関数 $S$ は加法的かつ広義的であり、断熱的孤立を仮定すれば $S(X \cup Y) = S(X) + S(Y)$ を満たす。
• 第二法則、すなわちエントロピー原理は、カルノー周期、理想気体、熱の概念を一切参照せずに導出可能である。
• 状態空間が $\mathbb{R}^n$ でパラメータ化されたり、微分可能である必要がないため、離散的または滑らかでない状態空間に対しても適用可能である。
• $S$ の存在は統計力学に依存しない。微視的モデルがなくても、マクロスケールで第二法則を確立可能である。
• 第二法則は原子的運動や統計集団の結果ではなく、量子スケールですらも、第二法則の破れは観測されたことがない。