[論文レビュー] The Mathematics of Phase Retrieval

Philipp Grohs, Sarah Koppensteiner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2019

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、関数のフーリエ変換の大きさデータから関数を回復する際の一意性と安定性に焦点を当て、位相再構成における数学的結果について包括的なサーベイを提供する。調和解析、複素解析、リーマン幾何学の分野における基礎的かつ最近の進展を統合し、回折イメージングや量子力学などの応用分野における位相再構成の理論的基盤を明確にする。

ABSTRACT

The problem of phase retrieval, i.e., the problem of recovering a function from the magnitudes of its Fourier transform, naturally arises in various fields of physics, such as astronomy, radar, speech recognition, quantum mechanics and, perhaps most prominently, diffraction imaging. The mathematical study of phase retrieval problems possesses a long history with a number of beautiful and deep results drawing from different mathematical fields, such as harmonic analyis, complex analysis, or Riemannian geometry. The present paper aims to present a summary of some of these results with an emphasis on recent activities. In particular we aim to summarize our current understanding of uniqueness and stability properties of phase retrieval problems.

研究の動機と目的

• 調和解析、複素解析、リーマン幾何学にまたがる位相再構成における重要な数学的結果を要約すること。
• 関数のフーリエ変換の大きさから一意に回復可能な条件を明確にすること。
• 測定データに摂動が生じた場合の位相再構成解の安定性を検討すること。
• 数学的位相再構成理論における最近の発展および未解決問題を強調すること。
• イメージング、信号処理、数学的物理学分野の研究者を対象に、現在の理解を統合的に概説すること。

提案手法

• 調和解析からの古典的および最近の結果をサーベイし、フーリエ大きさデータの構造を分析する。
• 複素解析の道具を用いて整関数およびその零点集合を研究し、位相再構成における一意性に関連付ける。
• リーマン幾何学からの幾何的技法を用いて、位相再構成解の多様体的構造を調査する。
• 測定ノイズを用いたリプシッツ型のバインドを用いて、再構成誤差の安定性を分析する。
• バンド制限関数や compact な台を持つ関数などの異なる関数クラスの結果を統合し、普遍的原則を同定する。
• 注入性とデータへの連続的依存性に重点を置き、位相再構成を逆問題としてフレームワーク化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相再構成問題の解が一意となる条件は何か？
• RQ2 位相再構成の安定性は、測定データの構造およびノイズレベルにどのように依存するか？
• RQ3 解析関数の零点集合が一意性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 関数空間の幾何学的および解析的性質は、位相再構成の可能性にどのように影響するか？
• RQ5 数学的位相再構成フレームワークにおける現在の理論的限界および未解決の問題は何か？

主な発見

• 十分なサンプリング密度および関数の台や解析的性質の知識がある場合、位相再構成における一意性が保証される。
• 安定性の結果は、適切な正則性仮定のもとで、フーリエ大きさデータの小さな摂動が、再構成関数における制御された誤差にしか与えないと示している。
• フーリエ変換の零点集合は、複数の関数が同じ大きさデータを持つ可能性があるかどうかを決定する上で、極めて重要な役割を果たす。
• バンド制限関数や台がコンパクトな関数に対しては、複素解析および整関数論の道具を用いて一意性を確立できる。
• 幾何的アプローチにより、位相再構成における解多様体が階層的構造を持つことが明らかになり、これが一意性および安定性に影響を与える。
• 最近の進展により、特に有限次元設定において、スパarsity、冗長性、安定性の相乗的関係が明確になった。