[論文レビュー] The Mather measure and a Large Deviation Principle for the Entropy Penalized Method

Diogo A. Gomes, Artur O. Lopes+1 more|ArXiv.org|Jul 17, 2007

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ力学におけるエントロピー正則化Mather問題について、大偏差原理（LDP）を確立する。稀な事象を支配するレート関数は、$ I(x,v) = L(x,v) + \nabla\phi_0(x)\cdot v - \overline{H}_0 $ で与えられ、ここで $ \phi_0 $ はハミルトニアン・ジャコビ方程式を満たす。この結果は、ラグランジアンに対して一般性のある条件（上線形性および凸性）が満たされる場合に成り立ち、$ \epsilon, h \to 0 $ および固定された $ h $ に対して $ \epsilon \to 0 $ の両方の極限に拡張可能であり、エントロピー正則化を用いたMather測度の近似における厳密な漸近的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We present a large deviation principle for the entropy penalized Mather problem when the Lagrangian L is generic (in this case the Mather measure $μ$ is unique and the support of $μ$ is the Aubry set). Consider, for each value of $ε$ and h, the entropy penalized Mather problem $\min \{\int_{ n imes n} L(x,v)dμ(x,v)+εS[μ]\},$ where the entropy S is given by $S[μ]=\int_{ n imes n}μ(x,v)\ln\frac{μ(x,v)}{\int_{ n}μ(x,w)dw}dxdv,$ and the minimization is performed over the space of probability densities $μ(x,v)$ that satisfy the holonomy constraint It follows from D. Gomes and E. Valdinoci that there exists a minimizing measure $μ_{ε, h}$ which converges to the Mather measure $μ$. We show a LDP $\lim_{ε,h o0} ε\ln μ_{ε,h}(A),$ where $A\subset \mathbb{T}^N imes\mathbb{R}^N$. The deviation function I is given by $I(x,v)= L(x,v)+ ablaϕ_0(x)(v)-\bar{H}_{0},$ where $ϕ_0$ is the unique viscosity solution for L.

研究の動機と目的

• ラグランジュ力学におけるエントロピー正則化Mather問題に対する大偏差原理（LDP）を導出すること。
• $ \epsilon, h \to 0 $ の極限における、稀な事象の確率の指数的減衰を支配するレート関数を特定すること。
• 離散時間アブリ・マーサー問題に対して、分離可能なサブアクションの存在を証明すること。
• 固定された $ h $ に対して $ \epsilon \to 0 $ の場合に、LDPを拡張すること。
• エントロピー正則化を用いた滑らかで絶対連続な密度関数によるMather測度の近似のための厳密な漸近的枠組みを提供すること。

提案手法

• エントロピー正則化Mather問題は、離散的ホロノミー制約を満たす確率密度関数 $ \mu $ に対して $ \int L(x,v)\,d\mu + \epsilon S[\mu] $ を最小化する形で定式化される。
• エントロピー $ S[\mu] $ は、$ \int \mu(x,v) \ln \left( \frac{\mu(x,v)}{\int \mu(x,w)\,dw} \right) dx\,dv $ として定義され、最小化解の滑らかさおよび絶対連続性を促進する。
• 解析は、一様な擬凸性推定およびハミルトニアン・ジャコビ方程式 $ H(\nabla\phi(x), x) = -\overline{H}_0 $ の粘性解に依存する。
• レート関数 $ I(x,v) $ は、$ L(x,v) + \nabla\phi_0(x)\cdot v - \overline{H}_0 $ として導出され、LDPをMather測度およびアブリ集合に結びつける。
• 行動関数 $ S(x,\cdot) $ の一様リプシッツ境界を用いて、可算な分割関数の族を介してサブアクションが構成される。
• コンパクト性の議論および経路収束を用いて、偏差関数がアブリ集合からの最小作用コストを捉えていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピー正則化Mather測度の大きな偏差は、$ \epsilon, h \to 0 $ のとき、どのレート関数によって支配されるか？
• RQ2 レート関数はハミルトニアン・ジャコビ方程式および粘性解 $ \phi_0 $ とどのように関係するか？
• RQ3 固定された $ h $ に対して $ \epsilon \to 0 $ の場合に、大偏差原理を確立できるか？
• RQ4 離散時間アブリ・マーサー問題は、分離可能なサブアクションを有するか？
• RQ5 エントロピー正則化最小化解 $ \mu_{\epsilon,h} $ は、$ \epsilon, h \to 0 $ のとき、どのように漸近的挙動を示すか？

主な発見

• LDPのレート関数は、$ I(x,v) = L(x,v) + \nabla\phi_0(x)\cdot v - \overline{H}_0 $ で与えられ、ここで $ \phi_0 $ は $ H(\nabla\phi, x) = -\overline{H}_0 $ の一意な粘性解である。
• LDPは $ \epsilon, h \to 0 $ の極限で成り立ち、レート関数はMather測度からの逸脱のコストを捉えている。
• 固定された $ h $ に対して、$ \epsilon \to 0 $ の極限でもLDPが成り立ち、同じ構造のレート関数が得られる。
• ラグランジアン $ L $ に対して仮定された一般性の条件のもとで、Mather測度 $ \mu $ は一意に定まる。
• 離散時間アブリ・マーサー問題に対して、一様にリプシッツな関数と可算な分割関数の族を用いて、分離可能なサブアクションが構成可能である。
• エントロピー正則化最小化解 $ \mu_{\epsilon,h} $ は、$ \epsilon, h \to 0 $ のとき、Mather測度 $ \mu $ に収束し、収束速度はLDPによって支配される。