[論文レビュー] The $\mathrm{RO}(G)$-Graded Cohomology of the Equivariant Classifying Space $B_G\mathrm{SU}(2)$

Zev Chonoles|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Burnside環Mackey functorを係数とする、C₂-等変分類空間BC₂SU(2)のRO(C₂)-次数付きBredonコホモロジーを計算する。等変分の偶数次元自由性および乗法的比較定理を用いて、コホモロジーが2つの生成子—次元4σのcと次元4+4σのC—によって生成されることを示し、関係式c² = ε⁴c + ξ²Cを満たす。ここでεとξは点のコホモロジーの元である。

ABSTRACT

We compute the additive structure of the $\mathrm{RO}(C_n)$-graded Bredon equivariant cohomology of the equivariant classifying space $B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$, for any $n$ that is either prime or a product of distinct odd primes, and we also compute its multiplicative structure for $n=2$. In particular, as an algebra over the cohomology of a point, we show that the cohomology of $B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$ is generated by two elements subject to a single relation: writing $σ$ for the sign representation of $C_2$ in $\mathrm{RO}(C_2)$, the generators are an element $c$ in dimension $4σ$ and an element $C$ in dimension $4+4σ$, satisfying the relation $c^2 = ε^4 c + ξ^2 C$, where $ε$ and $ξ$ are elements of the cohomology of a point. Throughout, we take coefficients in the Burnside ring Mackey functor $A$. The key tools used are equivariant "even-dimensional freeness" and "multiplicative comparison" theorems for $G$-cell complexes, both proven by Lewis in [Lew88] and subsequently refined by Shulman in [Shu10], and with the former theorem extended by Basu and Ghosh in [BG16]. The latter theorem enables us to compute the multiplicative structure of the cohomology of $B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$ by embedding it in a direct sum of cohomology rings whose structure is more easily understood. Both theorems require the cells of the $G$-cell complex to be attached in a well-behaved order, and a significant step in our work is to give $B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$ a satisfactory $C_n$-cell complex structure.

研究の動機と目的

• G = Cₙでnが素数または相異なる奇素数の積である場合、BCₙSU(2)のRO(G)-次数付きBredonコホモロジーの加法的および乗法的構造を特定すること。
• 等変コホモロジー定理の適用を可能にするために、BCₙSU(2)にwell-behavedなCₙ-セル複体構造を構成すること。
• eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)の乗法的構造をeH∗C₂(S⁰; A)上の代数として、生成子と関係式を特定すること。
• LewisとShulmanが示した偶数次元自由性および乗法的比較定理を等変コホモロジー計算へと拡張・適用すること。
• 固定点部分空間への制限写像と転送写像を用いて、生成子間の代数的関係を検証すること。

提案手法

• Cₙ-表現の等変射影空間を用いて、BCₙSU(2)にCₙ-セル複体構造を構成する。
• 偶数次元自由性定理（BasuとGhoshによって一般化）を適用し、BCₙSU(2)のコホモロジーがRO(G)-偶数次元で、点のコホモロジーの自由加群であることを導く。
• 乗法的比較定理（Shulman、Lewisの後続）を用いて、BC₂SU(2)のコホモロジーをより単純なコホモロジー環の直和へ埋め込む。
• Borel構成とコボル型系列を介した制限写像と転送写像を用いて、フィルトレーション段階のコホモロジーを分析する。
• 等変球面と射影空間からの明示的構成を用いて、次元4σと4+4σに生成子cとCを特定する。
• 固定点への制限をチェックし、比較定理を用いることで、関係式c² = ε⁴c + ξ²Cの正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nが素数または相異なる奇素数の積である場合、BCₙSU(2)のRO(Cₙ)-次数付きBredonコホモロジーの加法的構造は何か？
• RQ2 eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)の乗法的構造はeH∗C₂(S⁰; A)上の代数としてどのように記述できるか？
• RQ3 比較定理とセル複体フィルトレーションを用いて、乗法的構造をどのように計算できるか？
• RQ4 C₂の場合のコホモロジールールの生成子間の代数的関係は何か？
• RQ5 制限写像と転送写像は、コホモロジー関係式c² = ε⁴c + ξ²Cの検証にどのように寄与するか？

主な発見

• Burnside環Mackey functor Aを係数とするBCₙSU(2)のRO(Cₙ)-次数付きBredonコホモロジーは、eH∗Cₙ(S⁰; A)上の加群として、RO(Cₙ)-偶数次元で自由である。
• G = C₂の場合、eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)は、次元4σの生成子cと次元4+4σの生成子Cによって、代数として生成される。
• 生成子は関係式c² = ε⁴c + ξ²Cを満たし、ここでεとξはeH∗C₂(S⁰; A)の元であり、εは次元0、ξは次元2にある。
• cの固定点への制限はx₀であり、Cの制限はx₀(ε⁴ + ξ²x₀)である。これは関係式と整合的である。
• フィルトレーション段階PH(Wₙ)+のコホモロジーは、eH∗C₂(PH(Wₙ₋₁)+) ⊕ Σ^{wₙ} eH∗C₂(S⁰; A)と同型であり、wₙ = 4nである。
• 自然な写像eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A) → lim←− eH∗C₂(PH(Wₙ)+; A)は同型であり、コホモロジーの列挙構造が確認される。