[論文レビュー] The ${\mathscr P}(\varphi)_2$ Model on the de Sitter Space

J. C. A. Barata, Christian D. Jäkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 118被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、図書館のハグ＝カストラー公理および時刻スライス公理を満たす相互作用をもつ量子場を構成することにより、${\mathscr P}(\varphi)_2$ モデルを2次元のデシータ空間に拡張する。$m > -\frac{1}{2r^2}$ の場合に赤外発散が存在しないことを示し、相互作用理論におけるブーストおよび回転生成子がストレステンソルをキリングベクトル場と縮約することで得られることを示す。この研究では、コーシー面に於いて $SO_0(1,2)$ のユニタリ表現が確立され、ユークリッド球面上でのオスターワルダー＝シュライダー再構成の有効性が確認される。

ABSTRACT

In 1975 by Figari, H{\\o}egh-Krohn and Nappi constructed the ${\\mathscr P}(\\varphi)_2$ model on the two-dimensional de Sitter space. Here we complement their work with a number of new results.

研究の動機と目的

• ${\mathscr P}(\varphi)_2$ モデルを2次元デシータ空間に拡張し、フィガリ、ホーグ＝クローン、ナッピが開始した研究を完了すること。
• コーシー面上の波動関数のヒルベルト空間上に $SO_0(1,2)$ のユニタリ非可約表現の存在を確立すること。
• デシータ空間の文脈において $m > -\frac{1}{2r^2}$ の場合に物理的赤外問題が存在しないことを示すこと。
• 相互作用をもつ量子場が共変形式での運動方程式を満たし、ハグ＝カストラー公理および時刻スライス公理が成り立つことを確認すること。
• 相互作用理論におけるブーストおよび回転の生成子がストレステンソルをキリングベクトル場と縮約することで得られることを示すこと。

提案手法

• フーリエ＝ヘルガソン変換を用いて、コーシー面上に $SO_0(1,2)$ のユニタリ非可約表現を定式化すること。
• デシータ空間の因果的構造を分析し、$O(1,2)$ の表現論をレビューすること。
• 共変形式および正準形式の両方で自由古典的力学系を構成し、1粒子のKMS構造を導入すること。
• ユークリッド球面上に ${\mathscr P}(\varphi)_2$ 相互作用を導入し、詳細にオスターワルダー＝シュライダー再構成を実行すること。
• 固定された空間的測地線に底面を持つ二重錐体の局所フォン・ノイマン代数が、自由理論と相互作用理論で同一であることを検証すること。
• キリングベクトル場と縮約したストレステンソルを線分に沿って積分することにより、相互作用理論のブーストおよび回転生成子を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathscr P}(\varphi)_2$ モデルにおけるデシータ空間上でのコーシー面上に $SO_0(1,2)$ のユニタリ非可約表現を定式化することは可能か？
• RQ2 $m > -\frac{1}{2r^2}$ の場合に、デシータ空間上での物理的赤外発散は存在しないか？
• RQ3 相互作用をもつ量子場は、デシータ空間上で共変形式の運動方程式を満たすか？
• RQ4 ハグ＝カストラー公理および時刻スライス公理は、デシータ空間上での ${\mathscr P}(\varphi)_2$ モデルにおいて成り立つか？
• RQ5 相互作用理論におけるローレンツ群の生成子は、ストレステンソルをキリングベクトル場と縮約することで得られるか？

主な発見

• $SO_0(1,2)$ の主系列および補完系列の両方のユニタリ非可約表現が、コーシー面上に定義された波動関数のヒルベルト空間上に実現される。
• デシータ空間上では $m > -\frac{1}{2r^2}$ の場合に物理的赤外問題が存在せず、紫外発散はミンコフスキー空間の場合と同様に解消される。
• 相互作用をもつ量子場は共変形式での運動方程式を満たし、相対論的不変性が保証される。
• ハグ＝カストラー公理および時刻スライス公理が満たされ、固定された空間的測地線に底面を持つ二重錐体の局所フォン・ノイマン代数が自由理論と相互作用理論で同一である。
• 相互作用理論におけるブーストおよび回転の生成子は、ストレステンソルをキリングベクトル場と縮約し、線分に沿って積分することで得られ、自由フォック空間上にローレンツ群の可約ユニタリ表現を形成する。
• オスターワルダー＝シュライダー再構成はユークリッド球面上で詳細に実行され、このモデルにおけるユークリッド経路積分アプローチの有効性が確認される。