[論文レビュー] The maximal degree in random recursive graphs with random weights

Bas Lodewijks, Marcel Ortgiese|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2020

Complex Network Analysis Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、頂点にi.i.d.なランダム重みが割り当てられ、接続確率に影響を与える重み付きランダム再帰的グラフにおける最大次数の性質を研究する。最大次数の漸近的挙動は、重み分布の尾部に強く依存しており、Fréchet型の重みでは主項が確率的であり、ポアソン点過程の関数に分布収束する。一方、Gumbel型の重みでは主項が決定論的であり、予想に反して、コン pactなウィンドウに限定した場合の初期の確率的フラクチュエーションの期待とは対照的に、全頂点を考慮すると2次項すら決定論的であることが判明する。

ABSTRACT

We study a generalisation of the random recursive tree (RRT) model and its multigraph counterpart, the uniform directed acyclic graph (DAG). Here, vertices are equipped with a random vertex-weight representing initial inhomogeneities in the network, so that a new vertex connects to one of the old vertices with a probability that is proportional to their vertex-weight. We first identify the asymptotic degree distribution of a uniformly chosen vertex for a general vertex-weight distribution. For the maximal degree, we distinguish several classes that lead to different behaviour: For bounded vertex-weights we obtain results for the maximal degree that are similar to those observed for RRTs and DAGs. If the vertex-weights have unbounded support, then the maximal degree has to satisfy the right balance between having a high vertex-weight and being born early. For vertex-weights in the Frechet maximum domain of attraction the first order behaviour of the maximal degree is random, while for those in the Gumbel maximum domain of attraction the leading order is deterministic. Surprisingly, in the latter case, the second order is random when considering vertices in a compact window in the optimal region, while it becomes deterministic when considering all vertices.

研究の動機と目的

• ランダムな頂点重みが成長するランダム再帰的グラフにおける次数分布および最大次数に与える影響を理解すること。
• 特に有界、Fréchet、Gumbelの吸引域に属する異なる重み分布の下で、最大次数の漸近的挙動を特徴づけること。
• Gumbel分布に従う重みの下で、最大次数の2次フラクチュエーションに見られる表面的矛盾を解消し、全頂点を考慮すると2次項が決定論的であることを示すこと。

提案手法

• 各新しい頂点が、既存の頂点にそのランダムなi.i.d.頂点重みに比例する確率で接続する成長するランダムグラフをモデル化する。
• グラフが成長する極限において、一様に選ばれた頂点の次数分布を分析する。
• 各頂点の期待次数のフラクチュエーションを制御するため、条件付き期待値と集中不等式を用いる。
• 極値理論およびポアソン点過程の極限を用いて、最大次数の分布を特徴づける。
• 条件付き次数モーメントの漸近的結果を、再生過程とのカップリングおよびマルティンゲール技法を用いて導出する。
• 最大次数の最適領域を特定するためのウィンドウ化アプローチを採用し、最大次数の位置と値の同時収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d.頂点重みを有する重み付きランダム再帰的グラフにおいて、一様に選ばれた頂点の漸近的次数分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 頂点重みのサポートが非有界である場合、最大次数の1次漸近的挙動は何かが決定づけるか？
• RQ3 Gumbel分布に従う重みの下で、最大次数の2次フラクチュエーションはなぜコンパクトなウィンドウでは確率的に見えるが、全頂点を考慮すると決定論的になるのか？
• RQ4 最大次数を持つ頂点の位置は漸近的にどのように振る舞い、最大次数の値とどのように同時に極限をとるか？
• RQ5 頂点重みがFréchet最大値吸引域に属する場合、最大次数の極限分布は何か？

主な発見

• 有界な頂点重みでは、最大次数は古典的なランダム再帰的木と同様に対数的に成長する。
• 頂点重みがFréchet吸引域に属する場合、最大次数の主項の挙動は確率的であり、ポアソン点過程の関数に分布収束する。
• Gumbel分布に従う重みでは、最大次数の1次成長は決定論的であり、直感的な確率的2次フラクチュエーションの期待とは対照的である。
• 驚くべきことに、全頂点を考慮すると、2次項でさえ決定論的であることが判明した。これは、より大きな最適領域を考慮する必要があるためである。
• 適切に正規化された最大次数を持つ頂点の位置は、重み分布に依存するが、対数スケール上で一様分布に分布収束する。
• 最大次数の位置と値の同時収束が確立され、最大次数の極限分布がGumbel型の極値分布であることが示された。