[論文レビュー] The maximal entropy measure detects non-uniform hyperbolicity

Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有理型写像における半双曲性とトポロジカル・コロン・エーカー（TCE）条件が、最大エントロピー測度の性質によって特徴づけられることを確立している：半双曲性はジュリア集合上で測度がダブルリングであることと同値であり、TCE条​​件は小さな球における測度の多項式的下界を有することと同値である。これらの結果は、カールソン、ジョーンズ、ヨコーズの古典的定理を、完全に不変な吸引域を有する有理型写像へと拡張し、その吸引域がジョン領域であるための必要十分条件として、写像が半双曲的であることであることを示している。

ABSTRACT

We characterize two of the most studied non-uniform hyperbolicity conditions for rational maps, semi-hyperbolicity and the topological Collet-Eckmann condition, in terms of the maximal entropy measure. Using the same tools in the proof of these results we give an extension of a result of Carleson, Jones and Yoccoz, that semi-hyperbolicity characterizes those polynomial maps whose basin of attraction of infinity is a John domain, to rational maps having a completely invariant attracting basin.

研究の動機と目的

• 最大エントロピー測度の性質を用いて、有理型写像における半双曲性とTCE条件を特徴づける。
• 多項式的吸引域がジョン領域であることを示すカールソン＝ジョーンズ＝ヨコーズの定理を、完全に不変な吸引域を有する有理型写像へと拡張する。
• 最大エントロピー測度がジュリア集合上でダブルリングであることは、写像が半双曲的であることと同値であることを示す。
• TCE条件が小さな球における測度の多項式的下界と同値であることを確立する。

提案手法

• 繰り返し写像における局所的前像成分を用いて、ジュリア集合内の点における反復写像の局所的次数を定義する。
• 最大エントロピー測度がジュリア集合に台を持つことを利用し、測度論的推定を用いてそのダブルリング性を分析する。
• 前像成分の成長を制限することで、半双曲性が測度のダブルリング性を導くことを証明する。
• 歪度推定と被覆議論を用いて、球における測度の下界として多項式的下界を得ることで、TCE条件を確立する。
• ジョン領域およびポアゾリティの理論を応用し、吸引域の幾何的性質と力学的条件を結びつける。
• ハイッシンスキーおよびピルグリムのダブルリング測度に関する結果を、被覆および歪度制御を用いて有理型写像へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大エントロピー測度にどのような条件が満たされると、有理型写像が半双曲的になるか？
• RQ2 ジュリア集合における小さな球における測度の多項式的下界とTCE条件は同値か？
• RQ3 半双曲性による多項式的吸引域がジョン領域であるという特徴づけを、完全に不変な吸引域を有する有理型写像へと拡張できるか？
• RQ4 ジョン領域としての吸引域を持つ有理型写像において、ジュリア集合のポアゾリティから、ジュリア集合内に再帰的臨界点が存在しないことが導かれるか？
• RQ5 TCE条件下での最大エントロピー測度の多項式的下界における最適指数αは何か？

主な発見

• 有理型写像が半双曲的であることと、その最大エントロピー測度がジュリア集合上でダブルリングであることとは同値である。
• TCE条件が成り立つことは、正の定数 r₀ > 0、α > 0、C > 0 が存在し、任意の x ∈ J(f) および r ∈ (0,r₀) に対して ρ_f(B(x,r)) ≥ Cr^α が成り立つことと同値である。
• 下界における最適指数αは、注記4で明示的に特徴づけられている。
• 完全に不変な吸引域がジョン領域である有理型写像は、半双曲的である。
• 吸引域がジョン領域であるとき、ジュリア集合のポアゾリティから、ジュリア集合内に再帰的臨界点が存在しないことが従う。
• この結果により、カールソン＝ジョーンズ＝ヨコーズの定理が有理型写像へと拡張される：完全に不変な吸引域を有する有理型写像は、その吸引域がジョン領域であることと同値に半双曲的である。