[論文レビュー] The maximal operators of logarithmic means of one-dimensional Vilenkin-Fourier series

George Tephnadze|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、マルティングル・ハーディー空間 $H_p$ 上における1次元のヴィレインキン・フーリエ級数のリーマンおよびノールント対数平均に付随する最大作用素の有界性を検討する。$p > 1/2$ のとき、リーマン最大作用素は $H_p$ から $L_p$ への有界作用素であるが、$0 < p \leq 1/2$ のときには有界でないことが示され、同様の無限大性が $0 < p \leq 1$ のときのノールント平均に対しても成立する。これらの結果は、有界ヴィレインキン群上の $L_p$ ノルム推定とダイアディック区間解析を用いて得られる。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate (H_{p},L_{p})-type inequalities for maximal operators of logarithmic means of one-dimensional Vilenkin-Fourier series.

研究の動機と目的

• リーマンおよびノールント対数平均の最大作用素について、1次元ヴィレインキン・フーリエ級数の $(H_p, L_p)$ 型不等式を確立すること。
• 最大作用素 $R^*$ がマルティングル・ハーディー空間 $H_p$ から $L_p$ への有界作用素となるような $p$ の正確な閾値を特定すること。
• 特に有界性が成立しない場合に、$0 < p \leq 1$ のときの $H_p$ 空間上におけるノールント対数平均の最大作用素 $L^*$ の挙動を分析すること。
• $0 < p \leq 1/2$ のとき $f \in H_p$ に対して $R^*$ の $L_p$ ノルムが無限大であることを示す反例を提供すること。同様に $0 < p \leq 1$ のとき $L^*$ に対しても同様の無限大性を示すこと。
• ダイアディック区間および部分和の推定を用いて、ウォルシュ＝ペイリー系に関する既知の結果を一般の有界ヴィレインキン群へ拡張すること。

提案手法

• 有界ヴィレインキン群 $G_m$ 上で分析が行われ、正規直交ヴィレインキン系 $\psi_n$、それに伴うフーリエ級数、部分和 $S_n f$、対数平均 $R_n f$ および $L_n f$ が用いられる。
• 最大作用素 $R^* f := \sup_n |R_n f|$ および $L^* f := \sup_n |L_n f|$ は、ダイアディック区間 $I_n(x)$ 上での $L_p$ ノルム推定を用いて分析される。
• 主要な推定は、ディリクレ核 $D_n(x)$ の振る舞いに依存する。特に $D_{M_n}(x) = M_n$（$x \in I_n$ のとき）、それ以外では $0$ である。この性質により、部分和 $S_j f$ が制御される。
• ダイアディック分解と区間解析が用いられる：$x \in I_{2s} \setminus I_{2s+1}$ のとき、$\sum_{j=0}^{M_{2s}-1} \frac{D_j(x)}{M_{2s} - j} \geq c s M_{2s}$ が成り立ち、これがノルムの増大を引き起こす。
• $p \leq 1/2$ のとき $\|R^* f\|_{L_p} = \infty$ となるマルティングル $f \in H_p$ の構成は、区間 $I_{2s} \setminus I_{2s+1}$ 上での $\|R^* f\|_p^p$ の推定と、$k \to \infty$ のときの発散の証明に依存する。
• ノールント平均の証明では、$M_{2s}$ と $\alpha_k$ の漸近的成長に類似した区間ベースのノルム推定を用いて、$0 < p \leq 1$ のとき $\|L^* f\|_{L_p} = \infty$ となる関数 $f \in H_p$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $p > 0$ に対して、リーマン対数平均の最大作用素 $R^*$ が $H_p$ から $L_p$ への有界作用素となるか？
• RQ2 $p \leq 1/2$ のとき、最大作用素 $R^*$ が $H_p$ 上で有界でないかどうか、およびノルムの発散によってその無限大性が定量的に示せるか？
• RQ3 $0 < p \leq 1$ のとき、$f \in H_p$ に対して $L_p$ ノルム $\|L^* f\|_{L_p}$ が無限大である関数 $f$ が存在するか？
• RQ4 $p \leq 1/2$ のとき、$f \in H_p$ に対して $\|R^* f\|_{L_p}^p$ の漸近的挙動は何か？また $k \to \infty$ のときどのように発散するか？
• RQ5 ダイアディック区間 $I_n$ 上での $S_j f$ および $D_j(x)$ の推定は、$p \leq 1$ のとき $L_p$ 内での $L^*$ の無限大性にどのように寄与するか？

主な発見

• 最大作用素 $R^*$ が $H_p$ から $L_p$ への有界作用素であるための必要十分条件は $p > 1/2$ であり、$p > 1/2$ のとき $f \in H_p$ に対して $\|R^* f\|_{L_p} < \infty$ であることが証明されている。
• $0 < p \leq 1/2$ のとき、$\|R^* f\|_{L_p} = \infty$ となるマルティングル $f \in H_p$ が存在する。発散は $\|R^* f\|_{L_p}^p \gtrsim 2^{\alpha_k(1-2p)}/\alpha_k^{3p/2} \to \infty$（$k \to \infty$）として示される。
• ノールント対数平均に関しては、$0 < p \leq 1$ のすべての $f \in H_p$ に対して $\|L^* f\|_{L_p} = \infty$ である。$\|L^* f\|_{L_p}^p \gtrsim 2^{\alpha_k(1-p)}/\alpha_k^{p/2} \to \infty$（$k \to \infty$）として発散が示される。
• $p = 1/2$ の反例は、$\|R^* f\|_{L_{1/2}} = \infty$ となるマルティングル $f$ を用いて構成され、$p > 1/2$ の閾値が鋭いことを確認する。
• ノルム推定は $M_{2s} \sim 2^{2s}$ の成長と区間 $I_{2s} \setminus I_{2s+1}$ に依存する。この区間では $j < M_{2s}$ のとき $D_j(x) = j$ であるため、$\sum_{j=0}^{M_{2s}-1} \frac{j}{M_{2s} - j} \gtrsim s M_{2s}$ が成り立つ。
• 発散結果は、$k \to \infty$ のとき $L_p$ ノルム $\|L^* f\|_{L_p}$ が無限大に発散することを示す。発散の速度は $p$ に依存し、$p = 1/2$ のとき $\sim \alpha_k^{1/4}$、$p = 1$ のとき $\sim \sqrt{\alpha_k}$ となる。