[論文レビュー] The maximal order of a class of multiplicative arithmetical functions

László Tóth, Eduard Wirsing|ArXiv.org|Oct 11, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、素数冪における関数値の上界と関連する無限積を分析することにより、特に除数和関数およびオイラー型関数を含む乗法的算術関数の最大および最小の順序を決定する一般定理を確立する。主な結果は、このような関数の最大順序が漸近的に $ e^{\tau} R \log\log n $ に比例することであり、ここで $ R $ は正規化された上界値を含む素数に関する積である。これは、$ \sigma(n) $、$ \sigma^*(n) $、$ \phi(n) $ に対する古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove simple theorems concerning the maximal order of a large class of multiplicative functions. As an application, we determine the maximal orders of certain functions of the type $σ_A(n)= \sum_{d\in A(n)} d$, where A(n) is a subset of the set of all positive divisors of $n$, including the divisor-sum function $σ(n)$ and its unitary and exponential analogues. We also give the minimal order of a new class of Euler-type functions, including the Euler-function $ϕ(n)$ and its unitary analogue.

研究の動機と目的

• 特定のケースに限らない乗法的算術関数の極値順序を決定するための一般枠組みの欠如に対処する。
• 非負の乗法的関数について $ f(n)/\log\log n $ の上極限を容易に計算できる定理を構築する。
• $ \sigma(n) $、$ \sigma^*(n) $、$ \phi(n) $ およびそのユニタリ／指数的類似関数に対する既知の結果を、一般化された除数関数の広いクラスにまで拡張する。
• 除数系 $ A $ に対する構造的条件の下で、オイラー型関数 $ \phi_A(n) $ の最小順序を特定する。
• パラメータ $ \rho(p) = \sup_\nu f(p^\nu) $ および $ R = \prod_p (1-1/p)\rho(p) $ を用いた統一的アプローチにより、極値成長率を決定する。

提案手法

• 各素数 $ p $ に対して $ \rho(p) = \sup_{\nu \geq 0} f(p^\nu) $ を定義し、関数が素数冪において示す最大の局所的寄与を捉える。
• 関数 $ f(n) $ の漸近的成長率を支配する積 $ R = \prod_p (1 - 1/p) \rho(p) $ を導入し、収束を仮定するか、条件的に課す。
• $ \rho(p) $ に関する条件（例えば $ \rho(p) \leq 1 + o(\log p / p) $）と、$ f(p^{e_p}) $ が $ \rho(p) $ を近似するような指数 $ e_p = p^{o(1)} $ の存在を用いて、$ L(f) = \limsup_{n \to \infty} f(n)/(\log\log n) $ の上界および下界を確立する。
• 除数 $ n $ の部分集合である乗法的除数系 $ A $（$ A(n) \subset \text{divisors of } n $）の概念を導入し、再帰的畳み込み恒等式を用いて一般化された関数 $ \sigma_A(n) = \sum_{d \in A(n)} d $ および $ \phi_A(n) $ を定義する。
• $ \sigma_A(n) $ および $ \phi_A(n) $ に定理を適用し、それらの極値順序が $ \rho(p) $ および $ R $ の収束性に依存することを示す。ユニタリおよび指数的除数に特に注意を向ける。
• $ \rho(p) = \infty $ となる素数の集合 $ \mathcal{S} $ を例外集合として取り扱い、$ \prod_{p \in \mathcal{S}} (1 - 1/p) $ を用いてその寄与を分離する。$ \sum_{p \in \mathcal{S}} 1/p < \infty $ の下で収束が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広範な乗法的算術関数のクラスにおける最大順序の一般形は何か？
• RQ2 $ \rho(p) $ とグローバルな積 $ R $ を用いて、$ f(n)/(\log\log n) $ の上極限をどのように評価できるか？
• RQ3 $ L(f) = e^{\gamma} R $ が成り立つための条件は何か？また、最大順序が発散するのはどのような場合か？
• RQ4 除数系 $ A $ の構造に応じて、一般化された除数関数 $ \sigma_A(n) $ および $ \phi_A(n) $ の極値順序はどのように依存するか？
• RQ5 $ \phi_A(n) $ の最小順序は何か？また、$ \inf_{\nu} \phi_A(p^\nu)/p^\nu $ とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化された除数関数 $ \sigma_A(n) $ の最大順序は、$ \sigma_A(p^{e_p}) \geq p^{e_p} + p^{e_p - 1} $ が $ e_p = p^{o(1)} $ に対して成り立つ限り、$ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma_A(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sup_{\nu} \frac{\sigma_A(p^\nu)}{p^\nu} $ を満たす。
• 標準的除数関数 $ \sigma(n) $ に対しては、$ R = 1 $ であるため、古典的結果 $ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} $ が回復される。
• ユニタリ除数関数 $ \sigma^*(n) $ に対しては、$ R = \prod_p (1 - 1/p)(1 + 1/p) = \zeta(2)^{-1} = 6/\pi^2 $ であるため、$ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma^*(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} \cdot \frac{6}{\pi^2} $ が得られる。
• $ \phi_A(n) $ の最小順序は、$ A $ および $ e_p $ に関する条件の下で $ \liminf_{n \to \infty} \frac{\phi_A(n) \log\log n}{n} = e^{-\gamma} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} \inf_{\nu} \frac{\phi_A(p^\nu)}{p^\nu} $ に等しい。
• $ \phi(n) $ および $ \phi^*(n) $ に対しては、$ \inf \phi(p^\nu)/p^\nu = 1 - 1/p $ であり、$ \prod_p (1 - 1/p)^{-1} = \infty $ であるが、$ p > 2 $ に対する積は収束し、$ (1 - 1/2)^{-1} $ 項は $ \mathcal{S} = \{2\} $ を用いて処理される。このため、既知の結果 $ \liminf_{n \to \infty} \frac{\phi(n) \log\log n}{n} = e^{-\gamma} $ が回復される。
• $ \rho(2) = \infty $ であっても、$ \sum_{p \in \mathcal{S}} 1/p < \infty $ であれば最小順序は有限のまま保たれる。これは、有限個の素数で発散しても、極値積の収束が保たれることを示している。