[論文レビュー] The maximum disjoint paths problem on multi-relations social networks

Bang Ye Wu|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複数の関係を有するソーシャルネットワークにおける最大互いに素パス問題を研究しており、パスは一色（同じエッジ色）でかつ内部で素因数である必要がある。l ≥ 4 の長さ制限付きパスについてNP困難性を示し、l = 4 に対して多項式時間 2-近似アルゴリズムを提示し、一般ケースに対して正確かつ近似アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Motivated by applications to social network analysis (SNA), we study the problem of finding the maximum number of disjoint uni-color paths in an edge-colored graph. We show the NP-hardness and the approximability of the problem, and both approximation and exact algorithms are proposed. Since short paths are much more significant in SNA, we also study the length-bounded version of the problem, in which the lengths of paths are required to be upper bounded by a fixed integer $l$. It is shown that the problem can be solved in polynomial time for $l=3$ and is NP-hard for $l\geq 4$. We also show that the problem can be approximated with ratio $(l-1)/2+ε$ in polynomial time for any $ε>0$. Particularly, for $l=4$, we develop an efficient 2-approximation algorithm.

研究の動機と目的

• 複数関係のソーシャルネットワークを表すエッジ彩色グラフにおける最大互いに素パス問題を扱う。
• 2つのノード間で最大数の互いに素な一色パスを見つけることの計算複雑性と近似可能性を分析する。
• パス長が固定の上限 l で制限される長さ制限付きバージョンを研究する。
• 大規模なソーシャルネットワークにおける実用的応用を想定し、効率的な近似および正確アルゴリズムを開発する。
• 本問題の近似可能性と計算困難性に関する理論的限界を確立する。

提案手法

• 2色グラフにおいても意思決定問題がNP完全であることを証明し、Max CDP が 2 より小さい比で近似可能でない（NP=P でない限り）ことを示す。
• c 色グラフに対して O(mn)-時間の c-近似アルゴリズムを提案し、比の厳密性を示す極端な例を構築する。
• 色の部分集合の動的計画法を用いて、O((m+n)c^n)-時間の正確なアルゴリズムを構築する。
• 長さ制限付きバージョン（l-LCDP）について、l=3 の場合にグラフマッチングを用いて多項式時間で解けることを示す。
• l=4 の場合に時間計算量 O(p²(c²n + cm)) の 2-近似アルゴリズムを設計する。ここで p は発見されたパス数である。
• 各色グラフにおいて s および t からの距離 ≤4 のノードに制限して局所探索戦略を採用し、大規模ネットワークにおける効率性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数関係のソーシャルネットワークにおける最大互いに素な一色パス問題はNP困難か？
• RQ2 定数因子で近似可能か？ また、可能な限り良い近似比は何か？
• RQ3 l の異なる値に対して長さ制限付きバージョン（l-LCDP）の計算複雑性は何か？
• RQ4 特に l=4 のような小さな固定 l に対して、効率的な近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは実際の応用において、特に大規模ソーシャルネットワークでスケーラブルか？

主な発見

• CDP 問題は 2 色グラフに対しても NP 完全であり、Max CDP 問題は NP=P でない限り 2 より小さい比で近似可能でない。
• c 色グラフに対して O(mn)-時間の c-近似アルゴリズムを提案し、構築された極端な例により比がタイトであることが示された。
• l=3 の場合、グラフマッチング技術を用いて l-LCDP 問題が多項式時間で解ける。
• l≥4 の場合、l-LCDP 問題は NP 困難であり、任意の ε>0 に対して比 (l−1)/2 + ε の多項式時間近似が可能である。
• l=4 の場合に時間計算量 O(p²(c²n + cm)) の 2-近似アルゴリズムを開発した。p および c が小さい場合には線形時間で実行可能である。
• アルゴリズムは局所的性質を持つ。各色グラフにおいて s および t からの距離 4 以内のノードに限定して処理を行うため、大規模ネットワークにおいても効率的である。