[論文レビュー] The maximum forcing number of polyomino

Liqiong Xu, Yuqing Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、基本的多ポリオミノの最大強制数がそのクラール数に等しいことを証明し、このようなグラフにおける最大強制数の多項式時間計算を可能にする。この結果は、非基本的多ポリオミノおよびヘキサゴナル・システムに対しても拡張可能であり、それらを基本的成分と固定結合に分解することで、すべての完全マッチングを持つ二部、2連結、平面的グラフにおける最大強制数が多項式時間で計算可能であることが示された。

ABSTRACT

The forcing number of a perfect matching $M$ of a graph $G$ is the cardinality of the smallest subset of $M$ that is contained in no other perfect matchings of $G$. For a planar embedding of a 2-connected bipartite planar graph $G$ which has a perfect matching, the concept of Clar number of hexagonal system had been extended by Abeledo and Atkinson as follows: a spanning subgraph $C$ of is called a Clar cover of $G$ if each of its components is either an even face or an edge, the maximum number of even faces in Clar covers of $G$ is called Clar number of $G$, and the Clar cover with the maximum number of even faces is called the maximum Clar cover. It was proved that if $G$ is a hexagonal system with a perfect matching $M$ and $K'$ is a set of hexagons in a maximum Clar cover of $G$, then $G-K'$ has a unique 1-factor. Using this result, Xu {\it et. at.} proved that the maximum forcing number of the elementary hexagonal system are equal to their Clar numbers, and then the maximum forcing number of the elementary hexagonal system can be computed in polynomial time. In this paper, we show that an elementary polyomino has a unique perfect matching when removing the set of tetragons from its maximum Clar cover. Thus the maximum forcing number of elementary polyomino equals to its Clar number and can be computed in polynomial time. Also, we have extended our result to the non-elementary polyomino and hexagonal system.

研究の動機と目的

• 基本的多ポリオミノの最大強制数が多項式時間で計算可能であるという予想を解決すること。
• 多ポリオミノにおける最大強制数とクラール数の間の関係を確立すること。
• 非基本的多ポリオミノおよびヘキサゴナル・システムへの最大強制数の多項式時間計算可能性を一般化すること。
• 基本的成分と固定結合への分解に基づく計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 基本的多ポリオミノの最大クラールカバーからすべての四角形を除去すると、一意な完全マッチングを持つグラフが得られることを証明する。
• この一意性を用いて、基本的多ポリオミノの最大強制数がそのクラール数に等しいことを示す。
• 既存の線形計画法によるクラール数の計算アルゴリズムを活用し、最大強制数を多項式時間で計算可能であることを示す。
• 非基本的多ポリオミノおよびヘキサゴナル・システムを、基本的成分と固定結合に分解する技術を適用する。
• 非基本的グラフの最大強制数が、その基本的成分の最大強制数の和に等しいことを利用する。
• 二部グラフに完全マッチングが存在する場合、基本的成分と固定結合を O(|E| + |V|) 時間で特定するアルゴリズムを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的多ポリオミノの最大強制数は、そのクラール数に等しいか？
• RQ2 基本的多ポリオミノの最大強制数は多項式時間で計算可能か？
• RQ3 最大強制数とクラール数の等価性は、非基本的多ポリオミノおよびヘキサゴナル・システムへも拡張可能か？
• RQ4 非基本的多ポリオミノおよびヘキサゴナル・システムにおける最大強制数の計算の計算量複雑度はいかほどか？

主な発見

• 基本的多ポリオミノの最大強制数は、そのクラール数に等しい。
• 基本的多ポリオミノの最大強制数は、多項式時間で計算可能である。
• 非基本的多ポリオミノおよびヘキサゴナル・システムでは、最大強制数はその基本的成分の最大強制数の和に等しい。
• 非基本的グラフを基本的成分と固定結合に分解することは、O(|E| + |V|) 時間で実行可能である。
• 完全マッチングを持つ任意の多ポリオミノまたはヘキサゴナル・システムの最大強制数は、多項式時間で計算可能である。
• この結果は、既存の基本的ヘキサゴナル・システムに関する知見を、すべての完全マッチングを持つ二部、2連結、平面的グラフへ一般化する。