[論文レビュー] The Maximum Likelihood Degree of Linear Spaces of Symmetric Matrices

Carlos Améndola, Lukas Gustafsson+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多変量正規分布モデルにおける対称行列の線型空間の最尤度（ML）次数を計算し、線型幾何と交線理論からのセグレ類を用いた2つの新しい公式を導入する。コディメンション1のモデルについてML次数を完全に特徴付け、次元3におけるML次数の完全な分類を行い、ML次数が0である退化ケースを解消する。

ABSTRACT

We study multivariate Gaussian models that are described by linear conditions on the concentration matrix. We compute the maximum likelihood (ML) degrees of these models. That is, we count the critical points of the likelihood function over a linear space of symmetric matrices. We obtain new formulae for the ML degree, one via Schubert calculus, and another using Segre classes from intersection theory. We settle the case of codimension one models, and characterize the degenerate case when the ML degree is zero.

研究の動機と目的

• 多変量正規分布における線型濃度モデルの最尤度次数を計算すること。
• 交線理論からのセグレ類を用いたML次数の新しい公式を提供すること。
• コディメンション1の線型空間についてML次数を完全に特徴付けすること。
• 3×3対称行列の線型空間をML次数で分類すること。
• ML次数が0である退化ケースを特定し、特徴づけること。

提案手法

• 線型空間 L ⊆ Sn に属する正則行列の逆行列の集合のザリスキ閉包として、逆多様体 L⁻¹ を定義する。
• 対数尤度の臨界点を数えるために、交線 L⁻¹ ∩ (L⊥ + S) を用いる。ここで S は一般な行列である。
• 線型幾何を用いて、ML次数を L⁻¹ に制限した射影 πL⊥ の次数として表現する。
• 交線理論からのセグレ類を用いて、ML次数の第二の公式を導出する。
• テラチーニの補題と一般ファイバー解析を用いて、横断的かつ重複度なしの交線を保証する。
• 幾何的条件を用いてML次数が0である場合を特徴づける。これには、L⁻¹ と L⊥ が同一の超平面に含まれる場合や、摂動における行列式の不変性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウスモデルにおける対称行列の線型空間の最尤度次数は何か？
• RQ2 線型幾何とセグレ類を用いてML次数はどのように計算できるか？
• RQ3 コディメンション1の線型空間のML次数は何か？また、その annihilator 行列にどのように依存するか？
• RQ4 線型空間がML次数0をとるための必要十分条件は何か？
• RQ5 3×3対称線型空間の中でML次数が0であるものはどれか？また、それらはどのように分類されるか？

主な発見

• コディメンション1のモデルでは、ML次数は annihilator 行列のランクから1を引いたものに等しい。
• ML次数は交線理論からのセグレ類を用いた公式によって与えられる。
• 線型空間のML次数が0であるための必要十分条件は、その逆多様体 L⁻¹ と annihilator L⊥ が同一の超平面に含まれることである。
• 退化ケースとしてML次数が0となるのは、L の一般要素の行列式が特定の方向への摂動において不変である場合に限り、これは補題6.5で形式化されている。
• S³ において、ML次数が0である線型部分空間は、ちょうど5つの合同類に分けられ、そのうちの1つは L⁻¹ と L⊥ が同一の超平面に含まれないが、それらの和集合が L⁻¹ に一致する特殊な場合を含む。
• S³ の4次元部分空間でML次数が0であるものは（合同変換を除き）1つだけであり、そのセグレ記号は [2;;1] であり、L⊥ における特異なペンシルに一致する。