[論文レビュー] The maximum maximum of a martingale with given $n$ marginals

Pierre Henry‐Labordère, Jan Obłój+2 more|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|Mar 30, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、確率的制御を用いて導出された経路的不等式を用いて、有限個の途中時刻における与えられた周辺分布をもつ連続マルティンゲールの最大値の分布に対する鋭い上界を確立する。この上界は最適であり、n-周辺のAzéma-Yor埋め込みによって達成され、ボラティリティの不確実性下でのリッケージ・オプションの最小スーパーへッジコストを提供する。

ABSTRACT

We obtain bounds on the distribution of the maximum of a martingale with fixed marginals at finitely many intermediate times. The bounds are sharp and attained by a solution to $n$-marginal Skorokhod embedding problem in Obłój and Spoida [An iterated Azéma-Yor type embedding for finitely many marginals (2013) Preprint]. It follows that their embedding maximizes the maximum among all other embeddings. Our motivating problem is superhedging lookback options under volatility uncertainty for an investor allowed to dynamically trade the underlying asset and statically trade European call options for all possible strikes and finitely-many maturities. We derive a pathwise inequality which induces the cheapest superhedging value, which extends the two-marginals pathwise inequality of Brown, Hobson and Rogers [Probab. Theory Related Fields 119 (2001) 558-578]. This inequality, proved by elementary arguments, is derived by following the stochastic control approach of Galichon, Henry-Labordère and Touzi [Ann. Appl. Probab. 24 (2014) 312-336].

研究の動機と目的

• 与えられた有限時刻における周辺分布が固定された連続マルティンゲールの最大値の分布に対する鋭い上界を導出すること。
• 上界がn-周辺のSkorokhod埋め込み問題の解によって達成されることを確立し、最大値を最大化する埋め込みを同定すること。
• ボラティリティの不確実性下でのリッケージ・オプションのための最小の準静的スーパーへッジ戦略を誘導する経路的不等式を提供すること。
• Brown, Hobson, and Rogersの2-周辺の経路的不等式を、確率的制御手法を用いてn-周辺のケースに拡張すること。
• 最適ヘッジがデリバティブのデリバティブ取引とヨーロピアン・オプションにおける静的ヘッジの組み合わせから成り立ち、ラグランジュ乗数が最適静的ヘッジに対応することを示すこと。

提案手法

• Possamaïらの双対性結果を適用して、ロバストスーパーへッジ問題を周辺制約付きの最小化-最大化変分問題に再定式化する。
• 確率的制御技術を用いて、得られた最適化問題を明示的に解き、Azéma-Yor埋め込みの拡張された最適性を回復する。
• 確率積分の理論に依存しない経路的不等式を導出し、最大過程を途中の周辺分布と最適ヘッジ成分で上から抑える。
• 制御解から導かれるストライク依存重みを用いて、デリバティブ取引とバニラ・オプションにおける静的ポジションの組み合わせとして最適ヘッジを構築する。
• 確率解析の道具に依存せずに、基本的な議論を用いて経路的不等式を独立に検証する。
• n-周辺のSkorokhod埋め込み（ObłójとSpoidaによるもの）を用いることで、不等式で等号が成立することを示し、上界の最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたn個の途中時刻における固定周辺分布をもつ連続マルティンゲールの最大値の分布に対する、最もきつい上界は何か？
• RQ2 ボラティリティの不確実性下でのリッケージ・オプションの最適スーパーへッジ戦略は、特定の確率モデルを仮定せずに、経路的性質として特徴付けられるか？
• RQ3 ロバスト価格設定枠組みにおいて、最適静的および動的ヘッジポジションは、途中の周辺分布とどのように関係するか？
• RQ4 n-周辺のAzéma-Yor埋め込みは、与えられた周辺分布をもつすべての埋め込みの中で期待最大値を最大にする唯一の埋め込みか？
• RQ5 複数の満期をもつリッケージ・オプションに対して、最小のスーパーへッジコストを誘導する経路的不等式を構築できるか？

主な発見

• 最大値の分布に対する上界は鋭く、ObłójとSpoida（2013）によるn-周辺のSkorokhod埋め込み解によって達成される。
• 本稿で導出された経路的不等式は、ボラティリティの不確実性下でのリッケージ・オプションの最小準静的スーパーへッジコストを誘導する。
• 最適ヘッジは、基礎資産におけるデリバティブ取引と、すべてのストライクおよびn個の満期におけるヨーロピアン・オプションにおける静的ポジションの組み合わせから成る。
• 双対性定式化におけるラグランジュ乗数は、バニラ・オプションにおける最適静的ヘッジポジションに正確に対応する。
• 上界は、同じ周辺分布をもつ他のマルティンゲールが確率的順序でより高い最大値分布を達成できないという意味で最適である。
• 最適性は、最適停止境界からの任意の逸脱が経路的不等式を厳密に破ることを示すことによって証明され、解の最適性に矛盾する。