[論文レビュー] The maximum number of cliques in graphs without long cycles

Ruth Luo|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、長さの長いサイクルを含まない2連結グラフにおけるKopylovの辺数の極値結果を、任意の固定サイズのクリーク数への一般化する。サイクル長が $k$ より小さい場合、辺数を最大化するのと同じ極値グラフ $H_{n,k,2}$ および $H_{n,k,t}$ が $s$-クリーク数を最大化することを示し、$C_k$-フリーおよび $P_k$-フリーなグラフにおける $N_s(G)$ のタイトな上界を得る。

ABSTRACT

The Erdős--Gallai Theorem states that for $k\geq 3$ every graph on $n$ vertices with more than $\frac{1}{2}(k-1)(n-1)$ edges contains a cycle of length at least $k$. Kopylov proved a strengthening of this result for 2-connected graphs with extremal examples $H_{n,k,t}$ and $H_{n,k,2}$. In this note, we generalize the result of Kopylov to bound the number of $s$-cliques in a graph with circumference less than $k$. Furthermore, we show that the same extremal examples that maximize the number of edges also maximize the number of cliques of any fixed size. Finally, we obtain the extremal number of $s$-cliques in a graph with no path on $k$-vertices.

研究の動機と目的

• 長サイクルを含まない2連結グラフにおけるKopylovの極値的辺数結果を、任意の固定サイズ $s$ のクリーク数へ拡張すること。
• サイクル長が $k$ より小さいグラフにおける $s$-クリーク数の最大値を特定し、Erdős–Gallaiの定理をクリーク数の文脈に一般化すること。
• 同じ極値グラフ $H_{n,k,2}$ および $H_{n,k,t}$ が、辺数を最大化するのと同様に、同じ制約下で $s$-クリーク数を最大化することを示すこと。
• $P_k$-フリーなグラフにおける $s$-クリーク数の極値的境界を導出し、一般化されたTurán型結果を確立すること。

提案手法

• 関数 $f_s(n,k,a) = \binom{k-a}{s} + (n-k+a)\binom{a}{s-1}$ を定義し、$[1, \floor{(k-1)/2}]$ の範囲で $a$ に関して凸であることを用いて、極値グラフ $H_{n,k,a}$ における $s$-クリーク数の上界を導出する。
• グラフのブロックカットツリーにおけるブロック数に関する帰納法を用い、サイクル長が $k$ より小さいグラフにおける $N_s(G)$ の上界を証明する。
• $(t+1)$-disintegration および $k$-closure 操作を用いて、長サイクルを含まないグラフの構造を分析し、長さ $k+1$ 以上のサイクルが形成されないことを保証する。
• $P_k$-フリーなグラフを2連結に変換するための支配頂点を構成し、これにより2連結極値境界を適用可能にする。
• フラッグ代数にインspiredされたdisintegration議論を用い、長サイクルを避けるためにグラフのコアが完全グラフでなければならないことを示す。
• 得られたクリーク数を極値関数 $f_s(n,k,2)$ および $f_s(n,k,t)$ と比較し、タイトな上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクル長が $k$ より小さい2連結 $n$ 頂点グラフにおける $s$-クリーク数の最大値は何か？
• RQ2 辺数を最大化する極値グラフ $H_{n,k,2}$ および $H_{n,k,t}$ は、任意の固定 $s$ に対して $s$-クリーク数を最大化するか？
• RQ3 $k$ 頂点からなるパスを含まないグラフにおける $s$-クリーク数の極値的数は何か？
• RQ4 Kopylov や Erdős–Gallai が得た極値的辺数境界を、クリーク数の文脈に一般化できるか？

主な発見

• サイクル長が $k$ より小さい2連結 $n$ 頂点グラフにおける $s$-クリーク数の最大値は、$\max\{f_s(n,k,2), f_s(n,k,t)\}$ である。ここで $t = \lfloor(k-1)/2\rfloor$ である。
• 辺数を最大化する極値グラフ $H_{n,k,2}$ および $H_{n,k,t}$ は、任意の固定 $s$ に対して $s$-クリーク数を最大化する。
• $P_k$-フリーなグラフでは、$s$-クリーク数の最大値は $\max\{f_s(n,k-1,1), f_s(n,k-1,t)\}$ で抑えられ、ここで $t = \lfloor(k-2)/2\rfloor$ である。
• $C_k$-フリーなグラフにおける $N_s(G)$ の上界はタイトであり、辺の場合と同一の極値構成によって達成される。
• $P_k$-フリーなグラフにおける $N_s(G)$ の上界は $h_s(n,k) = \frac{n}{k-1}\binom{k-1}{s}$ であり、$n \geq k$ のときタイトである。
• 証明技法は、長サイクルを防ぎつつクリーク数を保つために $t$-disintegration および閉包操作に依存している。