[論文レビュー] The maximum number of triangles in graphs without the square of a path

Yichen Wang, Győri, Ervin|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 0

ひとこと要約

The paper determines ex(n, K3, P6^2) exactly for n ≥ 11 and identifies the extremal graphs achieving this bound.

ABSTRACT

The generalized Turán number for $H$ of $G$, denoted by $\ex(n,H,G)$, is the maximum number of copies of $H$ in an $n$-vertex $G$-free graph. When $H$ is an edge, $\ex(n,H,G)$ is the classical Turán number $\ex(n,G)$. Let $P_k$ be the path with $k$ vertices. The square of $P_k$, denoted by $P_k^2$, is obtained by joining the pairs of vertices with distance at most two in $P_k$. The Turán number of $P_k^2$, $\ex(n, P_k^2)$, was determined by several researchers. When $k=3$, $P_3^2$ is the triangle and $\ex(n, P_3^2)$ is well-known from Mantel's theorem. When $k=4$, $\ex(n, P_4^2)$ was solved by Dirac in a more general context. When $k=5,6$, the problem was solved by Xiao, Katona, Xiao, and Zamora. For general $k \ge 7$, the problem was solved by Yuan in a more general context. Recently, Mukherjee determined the generalized Turán number $\ex(n, K_3, P_5^2)$. In this paper, we determine the exact value of $\ex(n, K_3, P_6^2)$ and characterize all the extremal graphs for $n \ge 11$.

研究の動機と目的

• グラフ理論における一般化Turán数と二乗路の理解を動機づける。
• 大きなnに対してex(n, K3, P6^2)の正確な値を決定し、極値グラフを特徴づける。
• 格子状の三角形グラフや関連構造における三角形数の理解を拡張する。

提案手法

• P6^2-Freeグラフに対して辺数と三角形数を結びつけるディスチャージング法を用いる。
• Gのブロックを4タイプ(K5−ブロック, K4ブロック, TP2ブロック, サスペンション-block)に分類し、それぞれの寄与を分析する。
• エッジをブロックで着色し、青色成分（三角形を含まない）と赤色成分を分離して上界を導く。
• 基底の二部部分がほぼ最大であるときのnear-Turán構造を記述する命題を適用する。
• ディスチャージングを通じてt(G) ≤ e(G)を導き、既知の極値数でe(G)を上界することでex(n, K3, P6^2)へ到達する。
• nのmod 6に応じた正確な極値グラフを提供し、最適性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n個の頂点を持つP6^2-freeグラフの正確な最大三角形数はいくつか？
• RQ2 大きなnに対してex(n, K3, P6^2)を達成する極値グラフは何か？
• RQ3 ブロック(K5−-, K4-, TP2-, サスペンション-ブロック)の構造は三角形数をどのように制約するのか？
• RQ4 ディスチャージングとnear-Turánの議論を組み合わせて三角形数を辺数で上界する方法は？
• RQ5 結果はnの模6余りによってどう影響を受けるか？

主な発見

n	t(n,2)=floor(n^2/4)	f(n)	g(n)	edge-extremal graph	K3-extremal graph
6k	9k^2	3k	k	H_n^{n/2}	H_n^{3k}
6k+1	9k^2+3k	3k	k	H_n^{3k} and F_n^{3k+1,j}	H_n^{3k}
6k+2	9k^2+6k+1	3k	k-1	F_n^{3k+1,j} and F_n^{3k+2,j}	H_n^{3k}
6k+3	9k^2+9k+2	3k+1	k-1	H_n^{3k+3} and F_n^{3k+2,j}	H_n^{3k+1}
6k+4	9k^2+12k+4	3k+2	k	H_n^{3k+3}	H_n^{3k+3}
6k+5	9k^2+15k+6	3k+3	k+1	H_n^{3k+3}	H_n^{3k+3}

• n ≥ 11のとき、ex(n, K3, P6^2) = floor(n^2/4) + g(n) であり、g(n)は論文中の模6公式で与えられる。
• 最大値はnの模6に応じて具体的な構成H_n^⌊n/2⌋, F_n^{…}, または関連グラフによって達成される（定理に詳述）。
• P6^2-freeグラフに対してディスチャージングがt(G) ≤ e(G)を証明し、Mantelの定理とTurán型計算による厳密な境界を可能にする。
• 極値グラフのブロックは四つの型に制限され、赤三角形が青エッジ数と結びつく様子が分析される。
• 著者らはn ≥ 11に対する極値グラフの完全分類を提供し、正確な値はより深い解析ですべてのnに拡張される可能性があると conjectureしている。