[論文レビュー] The Maximum Principle for Stochastic Global Stackelberg Differential Games

Alain Bensoussan, Shaokuan Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、オープンループおよびクローズドループ設定の両方において、確率的グローバルスタックルーベル微分ゲームに対する最大原理を確立する。線形二次のケースでは、確率的リカッチ方程式を導出し、その解の存在および一意性を証明するとともに、クローズドループ枠組みにおいて前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDEs）を用いて最適戦略を定式化する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the maximum principle for both stochastic (global) open-loop and stochastic (global) closed-loop Stackelberg differential games. For the open-loop linear quadratic Stackelberg game, we consider the follower's Hamilton system as the leader's state equation, derive the related stochastic Riccati equation, and show the existence and uniqueness of the solution to the Riccati equation under some appropriate assumptions. For the closed-loop case, based on the arguments in \cite{PapavassiCruz79} for deterministic closed-loop Stackelberg game and the theory for controlled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs for short), we present the maximum principle for the leader's optimal strategy in such a game. We also study the closed-loop linear quadratic Stackelberg game as a comparison with the open-loop case, and derive the related Riccati equation which consists of FBSDEs.

研究の動機と目的

• オープンループおよびクローズドループ情報構造の下で、確率的グローバルスタックルーベル微分ゲームに対する最大原理の開発。
• フォロワーのハミルトニアン系をリーダーの状態方程式として再定式化することにより、オープンループ線形二次スタックルーベルゲームの分析。
• 適切な仮定の下で、導出された確率的リカッチ方程式の解の存在および一意性の確立。
• FBSDE理論を用いてクローズドループケースに拡張し、リーダーの最適戦略を導出。
• FBSDEに基づくリカッチ方程式を用いて、クローズドループおよびオープンループ線形二次スタックルーベルゲームを比較する。

提案手法

• オープンループ線形二次スタックルーベルケースにおいて、フォロワーのハミルトニアン系をリーダーの状態方程式として再定式化する。
• オープンループ設定における最適制御を支配する確率的リカッチ方程式を導出し、適切な条件下でその解の存在および一意性を証明する。
• 制御された前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDEs）の理論を用いて、クローズドループダイナミクスをモデル化する。
• FBSDE技術を用いて、クローズドループスタックルーベルゲームにおけるリーダーの最適戦略の最大原理を定式化する。
• FBSDEを組み込んだクローズドループ線形二次スタックルーベルゲームのためのリカッチ方程式系を構築する。
• Papavassiliou & Cruz (1979) の決定論的クローズドループゲームに関する結果を、確率的拡張の基盤として活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大原理は、オープンループおよびクローズドループフレームワークにおける確率的グローバルスタックルーベル微分ゲームにどのように拡張可能か？
• RQ2 オープンループ線形二次スタックルーベルケースにおける確率的リカッチ方程式の解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 FBSDEを用いて、確率的クローズドループスタックルーベルゲームにおけるリーダーの最適戦略はどのように特徴付けられるか？
• RQ4 確率的設定下でのオープンループおよびクローズドループ線形二次スタックルーベルゲームの関係は何か？
• RQ5 FBSDEは、クローズドループ線形二次スタックルーベルゲームにおけるリカッチ方程式の定式化にどのように寄与するか？

主な発見

• 適切な仮定の下で、オープンループ線形二次スタックルーベルゲームの確率的リカッチ方程式は一意な解を有する。
• クローズドループケースにおけるリーダーの最適戦略は、制御されたFBSDEから導出された最大原理によって特徴付けられる。
• クローズドループ線形二次スタックルーベルゲームは、前向き・後向き確率的微分方程式と本質的に関連するリカッチ方程式系をもたらす。
• FBSDE技術を用いることで、決定論的クローズドループスタックルーベルゲーム理論が確率的設定に成功裏に拡張された。
• 分析により、確率的スタックルーベルゲームにおけるオープンループおよびクローズドループ解の構造的類似点と相違点が明らかになった。
• 導出されたリカッチ方程式は、両情報構造における最適戦略を体系的に計算するための有効な手法を提供する。