[論文レビュー] The maximum queue length for heavy tailed service times

Misja Nuyens|ArXiv.org|Aug 5, 2003

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重尾的で対数凸性を満たすサービス時間分布をもつ M/G/1 キューにおいて、フォアグラウンド・バックグラウンド（FB）サービス制度下で、ビジーラインの最大キュー長の尾部が、システム負荷 $ ho$ を用いて $ ho^n$ で指数的に有界されることを確立している。この有界性は、FIFOと比較して、不安定なシステムにおけるバッファオーバーフロー時間の著しい延長を示しており、重尾的トラフィック下でのFBの優れた性能を裏付けている。

ABSTRACT

In this paper we study the maximum queue length $M$ (in terms of the number of customers present) in a busy cycle in the M/G/1 queue. Assume that the service times have a logconvex density. For such (heavy-tailed) service-time distributions the Foreground Background service discipline is optimal. This discipline gives service to the customer(s) that have received the least amount of service so far. It is shown that under this discipline $M$ has an exponentially decreasing tail. From the behaviour of $M$ we obtain asymptotics of the maximum queue length $M(t)$ over the interval $(0,t)$ for $t o\infty$. These are applied to calculate the time to overflow of a buffer, both in stable and unstable queues.

研究の動機と目的

• 重尾的サービス時間を持つ M/G/1 キューにおけるビジーライン内での最大キュー長を分析すること。
• 特にフォアグラウンド・バックグラウンド（FB）というサービス制度が、最大キュー長の尾部挙動に与える影響を調査すること。
• FB 制度下での最大キュー長 $M$ の尾部確率 $P(M > n)$ に対する指数的上界を導出すること。
• 重尾的サービス時間分布をもつ安定および不安定な M/G/1 キューにおいて、FB と FIFO の両制度のバッファオーバーフロー時間の比較を行うこと。
• 重尾的サービス時間を持つ不安定なシステムにおいて、FB 制度がバッファオーバーフローを著しく遅らせることが示されること。

提案手法

• 異なるサービス時間分布をもつ2つの M/G/1 FB キュー間のカップリングを用いて、最大キュー長分布を比較する。
• ビジーパリオードの初期顧客が他の顧客が存在しない場合にのみサービスを受けるという補助的サービス制度、FB* を導入し、重要な確率的不等式を導出する。
• キュー長過程の再生的構造を用いて、有限区間内の最大キュー長をビジーライン最大値に関連付ける。
• 逆変換サンプリングによるサービス時間のカップリングを用いて、閾値 $p$ まで同一の振るまいを保証し、キュー長過程の確率的優位性を実現する。
• 有界性 $P(M > n) \leq \rho^n$ を用いて、$t \to \infty$ のときの $M(t)$、すなわち $[0,t]$ 内の最大キュー長の漸近的挙動を導出する。
• 不安定なキューに対しては、元のサービス時間分布の切断および指数的チルト版をもつ安定キューとカップリングすることにより結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾的で対数凸性を満たすサービス時間分布をもつ M/G/1 キューにおいて、FB 制度下での最大キュー長の尾部挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 重尾的サービス時間分布において、FB 制度と FIFO はバッファオーバーフロー時間においてどのように比較されるか？
• RQ3 最大キュー長の尾部に対する指数的上界を、サービス時間分布の具体的な形に依存しない形で導出可能か？
• RQ4 重尾的サービス時間をもつ不安定な M/G/1 FB キューにおいて、バッファオーバーフローまでの時間はどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 対数凸性の仮定が、FB 制度の性能有界性に与える影響は何か？

主な発見

• 対数凸サービス時間密度をもつ M/G/1 FB キューにおける最大キュー長 $M$ の尾部は、$P(M > n) \leq \rho^n$ を満たす。ここで $\rho$ はシステム負荷である。
• この有界性は、サービス時間分布の具体的な形に依存せず、重尾的（例：パレート、$\beta < 1$ のワイブル）および軽尾的（例：ガンマ）分布の両方に適用可能である。
• システム負荷 $\rho = \infty$ の不安定なキューでは、到着率が低い場合、バッファオーバーフローまでの時間が非常に長くなる。例として $\lambda = 0.01$ で $t = 10^{40}$ のとき、オーバーフロー確率は 0.02 よりも小さいことが示された。
• カップリングの議論により、$M_F(t) \leq_{st} M_G(t) + K_p(t)$ が成り立つ。ここで $K_p(t)$ はレート $\lambda(1-p)$ のポアソン過程である。これにより、異なるサービス時間分布をもつシステム間の比較が可能になる。
• パレートサービス密度 $f(x) = 1/(x+1)^2$ の例では、$\lambda = 0.01$ のとき、バッファサイズ $d=1000$ の場合、オーバーフローまでの時間が高確率で $10^{40}$ を超えることが示された。これは、サービス時間分布の切断および指数的チルト版の安定性に起因する。
• この結果は、重尾的サービス時間をもつ不安定なシステムにおいて、FB 制度がバッファオーバーフローを著しく遅らせることが確認されており、FIFO よりも著しく優れた性能を示している。