[論文レビュー] The McKay correspondence via Floer theory

Mark McLean, Alexander F. Ritter|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フロア理論を用いて、孤立特異点における一般化された McKay 対応を確立する。具体的には、正のシンプレクティックコホモロジー SH₊(Y) のランクが、有限部分群 G ⊂ SL(n, ℂ) の共役類の数に等しく、共役類上の年齢勾配が SH₊(Y) 上の Conley-Zehnder 勾配と一致することを示す。全シンプレクティックコホモロジーの消滅により、SH₊(Y) と通常コホモロジー H(Y) の同型が得られ、これにより一般化された McKay 対応が裏付けられる。

ABSTRACT

We prove the generalised McKay correspondence for isolated singularities using Floer theory. Given an isolated singularity \C^n/G for a finite subgroup G in SL(n,\C) and any crepant resolution Y, we prove that the rank of positive symplectic cohomology SH_+(Y) is the number of conjugacy classes of G, and that twice the age grading on conjugacy classes is the \Z-grading on SH_+(Y) by the Conley-Zehnder index. The generalised McKay correspondence follows as SH_+(Y) is naturally isomorphic to ordinary cohomology H(Y), due to a vanishing result for full symplectic cohomology. In the Appendix we construct a novel filtration on the symplectic chain complex for any non-exact convex symplectic manifold, which yields both a Morse-Bott spectral sequence and a construction of positive symplectic cohomology.

研究の動機と目的

• 孤立特異点における一般化された McKay 対応をシンプレクティック位相幾何学を用いて確立すること。
• クレパント解消 Y における正のシンプレクティックコホモロジー SH₊(Y) の構造を、有限部分群 G ⊂ SL(n, ℂ) の共役類に関連付けること。
• SH₊(Y) 上の Conley-Zehnder 勾配が、G の共役類上の年齢勾配と一致することを示すこと。
• 全シンプレクティックコホモロジーの消滅結果を用いて、SH₊(Y) が通常コホモロジー H(Y) と自然に同型であることを示すこと。
• 非正確な凸シンプレクティック多様体に対して、シンプレクティックチェイン複体に新たなフィルトレーションを構成し、Morse-Bott 譜系と正のシンプレクティックコホモロジーを可能にすること。

提案手法

• クレパント解消 Y における特異点 ℂⁿ/G のシンプレクティック位相をフロア理論を用いて分析する。
• Conley-Zehnder 指数を用いて、シンプレクティックコホモロジーにおけるハミルトニアン軌道に対して SH₊(Y) に ℤ-勾配を定義する。
• シンプレクティック不変量を用いて、G の共役類上の年齢勾配と Conley-Zehnder 指数勾配の間の対応を確立する。
• 全シンプレクティックコホモロジーの消滅結果を用いて、SH₊(Y) ≅ H(Y) を導出し、シンプレクティック位相と代数的位相を結びつける。
• 非正確な凸シンプレクティック多様体に対して、シンプレクティックチェイン複体に新たなフィルトレーションを導入し、SH₊(Y) の構成と Morse-Bott 譜系の導出を可能にする。
• 譜系を用いて SH₊(Y) の構造を分析し、G の群論的データに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何学ではなくシンプレクティックフロア理論を用いて、一般化された McKay 対応をどのように証明できるか？
• RQ2 SH₊(Y) 上の Conley-Zehnder 勾配と G の共役類上の年齢勾配の正確な関係は何か？
• RQ3 なぜ正のシンプレクティックコホモロジー SH₊(Y) のランクが G の共役類の数に等しいのか？
• RQ4 全シンプレクティックコホモロジーの消滅が、なぜ SH₊(Y) ≅ H(Y) を示すのか？
• RQ5 シンプレクティックチェイン複体に新たなフィルトレーションを導入することで、Morse-Bott 譜系と SH₊(Y) の両方の構成が可能になるか？

主な発見

• 正のシンプレクティックコホモロジー SH₊(Y) のランクは、G の共役類の数に等しい。
• SH₊(Y) 上の Conley-Zehnder 勾配は、G の共役類上の年齢勾配のちょうど2倍に一致する。
• 全シンプレクティックコホモロジーの消滅により、SH₊(Y) は通常コホモロジー H(Y) と自然に同型である。
• シンプレクティックチェイン複体に導入された新しいフィルトレーションは、Morse-Bott 譜系を生成し、SH₊(Y) の構成を可能にする。
• SH₊(Y) ≅ H(Y) の同型は、シンプレクティック設定における一般化された McKay 対応を裏付ける。
• この対応は、G ⊂ SL(n, ℂ) が有限である任意のクレパント解消 Y に対して成り立つ。