[論文レビュー] The Mean Curvature of Transverse K\"ahler Foliations

Seoung Dal Jung, Ken Richardson|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、横断的ケーラー葉層構造における平均曲率1形式およびその正則的／反正則的成分の研究を行い、基本ドービュールコホモロジーにおけるハード・レフシェッツ定理が成り立つための必要十分条件として、クラス $[\partial_B \kappa^{0,1}_B]$ の消滅が得られる。また、葉層がタイトでない限りホッジのダイヤモンド構造が成立しないことが示され、2つの主要な不変量、すなわちアロスクラス $[\kappa_B]$ と $\partial_B\partial_B$-クラス $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ が同定され、これらはコホモロジー的対称性およびレフシェッツ性質の有効性を支配する。

ABSTRACT

We study properties of the mean curvature one-form and its holomorphic and antiholomorphic cousins on a transverse K\"ahler foliation. If the mean curvature of the foliation is automorphic, then there are some restrictions on basic cohomology similar to that on K\"ahler manifolds, such as the requirement that the odd basic Betti numbers must be even. However, the full Hodge diamond structure does not apply to basic Dolbeault cohomology unless the foliation is taut.

研究の動機と目的

• 横断的ケーラー葉層構造における平均曲率1形式およびその正則的／反正則的成分の役割を理解すること。
• 基本ドービュールコホモロジーにおいて、標準的なケーラー的コホモロジー的構造（たとえばハード・レフシェッツ定理やホッジ双対性）が成立する条件を特定すること。
• タイトでない葉層における基本コホモロジーにおけるホッジ対称性および $\partial\bar\partial$-補題の成立・不成立を支配する不変量を同定すること。
• 基本コホモロジーがケーラー多様体における性質と類似する条件を明らかにすること。

提案手法

• バンドル型計量と横断的正則構造を用いて、平均曲率1形式 $\kappa_B$ およびその横断的 $(1,0)$ および $(0,1)$ 成分 $\kappa^{1,0}_B$, $\kappa^{0,1}_B$ を定義する。
• $\kappa^{1,0}_B$ および $\kappa^{0,1}_B$ が $\partial_B$-閉であり、計量の選択に依存しない、$H^{1,0}_{\partial_B}(F)$ および $H^{0,1}_{\partial_B}(F)$ に属する明確に定義されたコホモロジー類を表すことを証明する。
• クラス $\eta = [\partial_B\kappa^{0,1}_B] \in H^{1,1}_{\partial_B\partial_B}(F)$ を導入し、これがバンドル型および適合する横断的計量の選択に対して不変であることを示す。
• 基本ラプラシアン $\Delta_B$ および $\Box_B$, $\Box_{\bar B}$ 演算子の明示的公式を、横断的ドービュールラプラシアンおよび曲率項で表す。
• $\kappa_B$ の自己同型的条件を分析し、$\kappa_B$ が自己同型であるとは、$H^{1,0} = (\kappa^{0,1}_B)^\#$ が横断的正則ベクトル場であることと同値であることを示す。
• 具体的な例（たとえば $T^3_A \times T^3_A$ 上）を用いて、異なる横断的複素構造下でのコホモロジー的挙動を比較し、タイト対非タイトおよびケーラー対非ケーラーのケースを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横断的ケーラー葉層構造における基本ドービュールコホモロジーに対して、ハード・レフシェッツ定理が成り立つ条件は何か？
• RQ2 $\partial_B\partial_B$-クラス $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ が、基本コホモロジーにおける $\partial\bar\partial$-補題およびホッジ対称性の有効性をどのように決定するか？
• RQ3 アロスクラス $[\kappa_B]$ の非消滅が、特に奇数次基本ベッチ数の偶奇性に与える影響は何か？
• RQ4 計量の選択によって平均曲率1形式を恒等的にゼロにできるか？そのために必要な条件は何か？
• RQ5 タイトでない横断的ケーラー葉層構造において、基本ドービュールコホモロジーのコホモロジー的性質は、タイトな場合とどのように異なるか？

主な発見

• ハード・レフシェッツ定理が横断的ケーラー葉層構造の基本コホモロジーで成り立つのは、クラス $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ が消えるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• クラス $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ が非自明であることは、$\partial_B\partial_B$-補題が $\partial_B\kappa^{0,1}_B$ に対して成立しないことと同値であり、このクラスはバンドル型および適合する横断的計量の選択に対して不変である。
• タイトでない横断的ケーラー葉層構造では、奇数次基本ベッチ数が偶数でなくてもよく、基本ドービュールベッチ数 $h^{r,s}_B$ は一般に $h^{r,s}_B = h^{s,r}_B$ または $h^{r,s}_B = h^{n-s,n-r}_B$ を満たさず、ホッジ対称性が破れる。
• クラス $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ が自明であることは、平均曲率 $\kappa_B$ が自己同型であること、すなわちそのフローが横断的正則構造を保存することと同値である。
• 例9.2では、非タイトな横断的ケーラー葉層構造で $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ が非自明である例が構成され、同じ多様体上で異なる横断的複素構造をとるとクラスが自明になることが示され、このクラスが複素構造に依存することを示している。
• この例は、横断的ケーラー葉層構造であっても、偶数次元の基本コホモロジー群が消える（たとえば $h^2_B = 0$）ことがあることを示しており、シンプレクティック多様体とは異なった挙動を示す。