[論文レビュー] The mean Dehn function of abelian groups

Oleg Bogopolski, Enric Ventura|ArXiv.org|Jun 12, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、初等的な数え上げ手法を用いて、有限生成アーベル群の平均デーン関数を計算し、3つの変種—$D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, および $D_{mean}(n)$—がすべて、$K$ が群の提示および測地的コンブニングにのみ依存する定数であるとき、$Kn(\mathrm{ln}\,n)^2$ で上から抑えられることを示している。これは、以前の部分二次関数的境界を改善し、標準デーン関数よりも著しく遅く成長する平均デーン関数の成長が、グロモフの予想を裏付けるものである。

ABSTRACT

While Dehn functions, D(n), of finitely presented groups are very well studied in the literature, mean Dehn functions are much less considered. M. Gromov introduced the notion of mean Dehn function of a group, $D_{mean}(n)$, suggesting that in many cases it should grow much more slowly than the Dehn function itself. Using only elementary counting methods, this paper presents some computations pointing into this direction. Particularizing them to the case of any finite presentation of a finitely generated abelian group (for which it is well known that $D(n)\sim n^2$ except in the 1-dimensional case), we show that the three variations $D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$ and $D_{mean}(n)$ all are bounded above by $Kn(\ln n)^2$, where the constant $K$ depends only on the presentation (and the geodesic combing) chosen. This improves an earlier bound given by Kukina and Roman'kov.

研究の動機と目的

• 有限生成アーベル群における平均デーン関数の成長率を調査すること。これは、標準デーン関数と比較してあまり研究が進んでいない。
• 3つの平均デーン関数の変種—$D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$—に対する明示的な上界を提供すること。
• 平均デーン関数が標準デーン関数よりも著しく遅く成長するというグロモフの予想が、特にアーベル群において成り立つことを確認すること。
• ケイリー図形における語のパスの組合せ的推定と初等的な数え上げ技術を用いて、漸近的境界を導出すること。
• クキナとロマノフクの以前の部分二次関数的境界を、アーベル群の平均デーン関数に関して改善すること。

提案手法

• 著者たちは、群における長さ $n$ の語の平均をとることで、3つの平均デーン関数の変種—$D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$—を定義する。
• 自由モノイド $A^*$ に属する語に対応するパスをモデル化するために、有限生成集合に関する群のケイリー図形を用いる。
• 解析は、$\mathbb{Z}^r$ のケイリー図形におけるバックトラッキングのないパス（測地的パス）の数を数えることに依存し、$\mathcal{N}_v'(n)$ として知られる、特定の群元 $v$ で終わるようなパスの数の既知の漸近公式（シャープ, 2001年）を用いる。
• スターリングの近似および中心二項係数の漸近的推定を用いて、$\mathbb{Z}^2$ における偶数長の閉路の数を分析し、これは単位元を表す語に対応する。
• 鍵となる技術的ステップは、アーベル提示の構造と、アーベル群では $D(n) \sim n^2$ であるという事実を用いて、単位元を表し、面積が小さい非簡約語の数を上から抑えることである。
• 最終的な境界は、長さ $n$ で群 $G$ において単位元に評価される語の球 $S_G(n)$ における平均化の議論と、これらのパス数の推定を組み合わせることで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成アーベル群において、平均デーン関数 $D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$ はどのように成長するか？
• RQ2 グロモフが予想したように、初等的な数え上げ手法によって、平均デーン関数の部分二次関数的境界が得られるか？
• RQ3 特に $\mathbb{Z}^r$ において、平均デーン関数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 アーベル群における平均デーン関数は、標準デーン関数 $D(n) \sim n^2$ と比べてどう異なるか？
• RQ5 ケイリー図形におけるパス数の推定技術を用いて、単位元を表す短い面積の語の数を効果的に上から抑えられるか？

主な発見

• 任意の有限生成アーベル群の有限提示について、平均デーン関数 $D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$ は、$K$ が提示および選択された測地的コンブニングにのみ依存する定数であるとき、すべて $Kn(\ln n)^2$ で上から抑えられる。
• この境界は、クキナとロマノフクがアーベル群の平均デーン関数に対して確立した以前の部分二次関数的境界を改善するものである。
• $\mathbb{Z}^2$ の場合、バックトラッキングのない長さ $2n$ の閉路の数は、$f_{2n} \sim \frac{4}{3(\sqrt{3}+1)\pi} \cdot \frac{3^{2n}}{2n}$ で漸近的に与えられ、これはシャープの局所極限定理から導かれる。
• 測地的パスの数の漸近的挙動を用いて、単位元を表し、面積が小さい語の数を推定し、これが平均デーン関数を抑える上で中心的な役割を果たす。
• 著者たちは、平均デーン関数が標準デーン関数 $D(n) \sim n^2$ よりも厳密に遅く成長することを確認し、グロモフの予想による平均デーン関数の遅い成長を支持する。
• 境界 $O(n(\ln n)^2)$ は、幾何学的または確率的道具を用いずに、ケイリー図形におけるパス数の初等的数え上げと組合せ的推定によって確立されている。