[論文レビュー] The mean-square of Dirichlet L-functions

J. Brian Conrey|ArXiv.org|Aug 20, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、$1/\log q$ に比べて小さい相対的なシフト $\alpha, \beta$ を持つ原始的ディリクレ $L$-関数の臨界線における平均平方について、漸近的公式を確立する。関数等式、直交性関係、および指標和の明示的公式を用いて、[CFKRS]のランダム行列フレームワークからの予測を確認し、主項が $\phi^*(q)$ のオーダーで、誤差項が $q^{1/2+\epsilon}$ のオーダーであることを示す。さらに、$p$ と $h$ が素数であるときの $S(p,h)$ について、新しいタイプの対称性関係を確立する。

ABSTRACT

We verify the conjecture of [CFKRS] for the mean square near the critical point of Dirichlet L-functions for a composite modulus q. We also prove a kind of reciprocity formula when the second moment for a prime modulus is twisted by a character evaluated at a different prime.

研究の動機と目的

• モジュロ $q$ の原始的指標の $L(1/2+\alpha,\chi)L(1/2+\beta,\overline{\chi})$ の平均平方について、$\alpha, \beta \ll 1/\log q$ である小さなシフトを含む漸近的公式を導出すること。
• すべての指標についてのヒース・ブラウンの結果（$q^{1/2+\epsilon}$ の主項を含む）と、原始的族に対する CFKRS の予測（主に $\phi^*(q)$ と $q^{1/2+\epsilon}$ の誤差項を想定）との間に生じる不一致を解消すること。
• 素数 $p,h$ に対して、$S(p,h)$ と $S(h,-p)$ を結ぶ対称性公式を確立し、指標和の挙動に潜むより深い構造を明らかにすること。

提案手法

• $L$-関数の関数等式とガウス和を用いて、$S_q^+(s,\alpha,\beta)$ の関数等式を導出する。
• 原始的指標に関する直交性関係を適用し、$q$ の約数 $d$ に対する和に、$\phi(d)\mu(q/d)$ を重みとして変換する。
• 明示的公式 $T(k) = k\log k + Ak + B\sqrt{k} + \sum c_\ell k^{-\ell/2} + O(k^{-L})$ を用いて、$q$ を割る $k$ に対する和を展開し、$A = \gamma - \log 8\pi$, $B = 2\zeta(1/2)^2$ とする。
• 関数等式を用いて $L(1/2+\alpha,\chi)$ を $L(1/2-\alpha,\overline{\chi})$ に結びつけ、解析接続と漸近的評価を可能にする。
• 指標和の展開における漸近的解析を慎重に行い、原始的指標の寄与を分離し、包含・除外原理を用いて非原始的項を処理する。
• $S(p,h) = \sum_{\chi^* \mod p} |L(1/2,\chi)|^2 \chi(h)$ に対して、$S(p,h) = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{h}} S(h,-p) + \frac{p}{\sqrt{h}}(\log\frac{p}{h} + A) + \frac{B}{2}\sqrt{p} + O(h + \log p + \sqrt{p/h}\log p)$ という対称性公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界線 $s=1/2$ の近くで、小さなシフト $\alpha, \beta$ を持つ原始的ディリクレ $L$-関数の平均平方は、CFKRS の予測（主項 $\phi^*(q)$ と誤差 $O(q^{1/2+\epsilon})$）と一致するか？
• RQ2 ヒース・ブラウンのすべての指標に関する結果では $q^{1/2+\epsilon}$ の主項が含まれるが、原始的族ではそのような項が存在しないのはなぜか？この違いは漸近的構造にどのように影響するか？
• RQ3 素数 $p,h$ に対して、$S(p,h) = \sum_{\chi^* \mod p} |L(1/2,\chi)|^2 \chi(h)$ について、対称性タイプの公式を導出できるか？また、その結果は指標和の対称性に何を明らかにするか？
• RQ4 $h$ が $p^{2/3}$ まで変化する範囲で、$S(p,h)$ の正確な漸近的挙動は何か？また、$S(h,-p)$ に依存するか？
• RQ5 非原始的指標の寄与とガウス和の恒等式は、平均平方の最終的な漸近的公式にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 原始的ディリクレ $L$-関数の平均平方は、$\sum_{\chi^* \mod q} L(1/2+\alpha,\chi)L(1/2+\beta,\overline{\chi}) = \frac{\phi^*(q)}{2}(\zeta_q(1+\alpha+\beta) + X^+(q,\alpha,\beta)\zeta_q(1-\alpha-\beta)) + O(q^{1/2+\epsilon})$ を満たし、CFKRS の予測を確認する。
• $q = p_1 p_2$ で $p_1, p_2 \sim \sqrt{q}$ のとき、誤差項は $O(q^{1/4})$ にまで小さくなり、$q^{1/2+\epsilon}$ よりも著しく小さい。これは誤差項の成長が構造に依存することを示唆する。
• 素数 $p,h$ に対して、$S(p,h) = \sum_{\chi^* \mod p} |L(1/2,\chi)|^2 \chi(h)$ は、$S(p,h) = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{h}} S(h,-p) + \frac{p}{\sqrt{h}}(\log\frac{p}{h} + A) + \frac{B}{2}\sqrt{p} + O(h + \log p + \sqrt{p/h}\log p)$ を満たし、対称性構造が明らかになる。
• 主項 $\phi^*(q)$ が確認され、$\phi^*(q)$ と $q^{1/2+\epsilon}$ の誤差項との間に中間項は存在しない。これは、すべての指標についてのヒース・ブラウンの結果とは対照的である。
• 定数 $A = \gamma - \log 8\pi = 2\gamma - \log 2\pi + \Gamma'(1/2)/\Gamma(1/2)$ と $B = 2\zeta(1/2)^2$ が、漸近展開において自然に現れる。
• $h = O(\sqrt{p})$ のとき、$\frac{p}{\sqrt{h}}\log\frac{p}{h}$ 項が支配的になる。$h$ がより大きい場合、$S(h,-p)$ は $h\log h$ に達する可能性があり、その場合最初の項が支配的になる。