[論文レビュー] The measurable Hall theorem fails for treeings

Gábor Kun|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の $d \geq 2$ に対して、測度的に二部グラフ化可能な $d$-正則なツリーイング（本質的に非巡回グラフィング）を構成し、それが測度的完全マッチングをもたないことを示している。これは、ツリーイング設定において測度的ホールの定理が成り立たないことを示している。構成は、制御された辺の向きと測度論的性質を持つ、有限 $d$-正則二部グラフの逆極限を用いる。すべての $L^1$ サーカレーションがほとんど everywhere にゼロであることを証明し、これが測度的マッチングの非存在を示している。

ABSTRACT

We construct, for every $d \geq 3$, a $d$-regular acyclic measurably bipartite graphing that admits no measurable perfect matching, resolving a problem of Kechris and Marks. A dense variant of our construction yields a coupling of two standard Borel probability measure spaces whose support contains no deterministic coupling, though the conditional probabilities of the coupling measure are atomless. This refutes a conjecture of Gurel-Gurevich and Peled.

研究の動機と目的

• ケフリスとマークスが提起した、$d$-正則なボレルツリーイングが測度的完全マッチングをもつかどうかという未解決問題を解くこと。
• ハイパーファイニットおよびボレル設定における既知の反例を、より広いクラスのツリーイングへと拡張すること、特に奇数および偶数の次数について。
• ツリーイングの文脈において、完全マッチングの存在が測度的マッチングの存在を意味しないことを示すこと、すなわちグラフィングが正則的かつ測度的に二部グラフであっても同様である。
• 構成されたグラフィングにおけるすべての $L^1$ サーカレーションがほとんど everywhere にゼロであることを示し、これにより測度的マッチングの非存在が障害されることを示すこと。
• このようなグラフィングが自由 $\mathbb{Z}$-作用のシュライエル・グラフィングとして現れえないことを確立し、結果を測度群論と結びつけること。

提案手法

• 測度を保つ射影 $f_n: V(G_{n+1}) \to V(G_n)$ を用いて、再帰的に有限 $d$-正則二部グラフの列 $\{G_n\}$ を構成する。
• 頂点集合が $f_n(x_{n+1}) = x_n$ を満たす列 $\{x_n\}$ からなる逆極限グラフィング $T_0$ を定義し、積確率測度を備える。
• 頂点のうち、$V_0(G_n)$ に無限に多くの座標を持つものの集合（「悪い」集合）を除くことで、完全測度部分グラフィング $T$ を制限し、非巡回性と正則性を保証する。
• グラフ $T$ に測度的向き $\mathcal{O}$ を定義し、$G_n$ から $T$ への向きのリフトを用いて、辺の向きのずれを制御する。
• 補題 4 を適用し、任意の絶対可積分サーカレーションが a.e. に消えることを示す。これは、有限レベルの向きによる近似と、ずれの測度の上限をとることで行う。
• 得られたグラフィング $T$ がツリーイング（本質的に非巡回）であり、$d$-正則であることを証明し、非自明な $L^1$ サーカレーションが存在しないことを示し、これにより測度的完全マッチングが存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $d \geq 2$ に対して、$d$-正則で測度的に二部グラフ化可能なツリーイングは測度的完全マッチングをもつか？
• RQ2 ハイパーファイニットおよびボレル設定における失敗を踏まえ、測度的ホールの定理がツリーイングのクラスへと拡張可能か？
• RQ3 サーカレーションは、正則グラフィングにおける測度的マッチングの非存在を妨げる役割を果たすか？
• RQ4 このような反例は、すべての $d \geq 2$、特に奇数の次数に対しても構成可能か？
• RQ5 自由 $\mathbb{Z}$-作用のシュライエル・グラフィングとして $d$-正則ツリーイングが実現可能か？

主な発見

• 任意の $d \geq 2$ に対して、測度的に二部グラフ化可能で、測度的完全マッチングをもたない $d$-正則ツリーイングが存在する。
• 構成されたグラフィングにおけるすべての $L^1$ サーカレーションは、ほとんど everywhere にゼロである。これは、測度的完全マッチングが存在しないことを示している。
• グラフィング $T$ はツリーイングである。これは、成分にサイクルを含む頂点の集合が測度ゼロであるためであり、かつグラフィングはほとんど everywhere で $d$-正則である。
• 構成により、グローバル向きとその有限レベル近似との間の測度的不一致が任意に小さくなることが保証され、近似法の適用が可能になる。
• このグラフィングは、自由 $\mathbb{Z}$-作用のシュライエル・グラフィングとして実現できない。なぜなら、そのような作用は非自明な有界サーカレーションを誘導するが、$T$ 上にはそのようなサーカレーションが存在しないからである。
• 本結果は、記述的集合論と測度的組合せ論における長年の未解決問題を解決し、測度的ホールの定理がツリーイングへと拡張されないことを示している。