[論文レビュー] The Metaplectic Casselman-Shalika Formula

Peter J. McNamara|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可分局所体上の未分岐再帰的群のタメ中央拡大における球的Whittaker関数について、メタプレクティックCasselman-Shalika公式を確立する。ChintaとOffenの手法を一般化することで、根系のデータと残渣体のサイズ $ q \equiv 1 \pmod{2n} $ に依存する係数を有するWeyl群作用を伴う明示的公式を導出し、メタプレクティックWhittaker関数がChintaとGunnellsによって構成されたWeyl群多重ゼータ関数の $ p $-部に一致することを示す。

ABSTRACT

This paper studies spherical Whittaker functions for central extensions of reductive groups over local fields. We follow the development of Chinta and Offen to produce a metaplectic Casselman-Shalika formula for tame covers of all unramified groups.

研究の動機と目的

• 古典的Casselman-Shalika公式を、有限巡回群による再帰的群の中央拡大、すなわちメタプレクティック群へ拡張すること。
• 非可分局所体上の未分岐再帰的群のメタプレクティック被覆における球的Whittaker関数の均一な公式の構築。
• ChintaとGunnellsによって構成されたWeyl群多重ゼータ関数の $ p $-部と、メタプレクティックWhittaker関数との明確な関係の確立。
• 根系の不変量と $ q $-変形を含む明示的公式を通じて、Weyl群のメタプレクティックWhittaker関数への作用を明確化すること。

提案手法

• ChintaとOffenの枠組みを採用し、未分岐群のメタプレクティック被覆へのCasselman-Shalika手法の一般化を試みる。
• 固定された埋め込み $ \epsilon $ を介して $ \mu_n \subset \mathbb{C}^\times $ とみなされる $ \mu_n $ による $ G $ の中央拡大 $ \widetilde{G} $ を用い、$ \epsilon $ を通じて $ \mu_n $ が作用する真の表現を考察する。
• 幾何的コキャラクター格子 $ X_*(S) $ 上でのWeyl群作用を用い、交換作用素とコycleデータから単純な反転の作用の明示的公式を導出する。
• 第12節で、主要な中間的ステップとしてメタプレクティックGindikin-Karpelevic公式を導出する。
• 変数変換と正規化を用いて、メタプレクティックWhittaker関数をChinta-Gunnellsの構成と一致させるために、Weyl群多重ゼータ関数の $ p $-部と比較する。
• 正規化および符号因子を介して定義された2つのWeyl群作用 $ \circ_1 $ と $ \circ_2 $ が等価であることを証明し、メタプレクティック構成が多重ゼータ関数理論の標準的構成と整合することを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Casselman-Shalika公式は、再帰的群の中央拡大 $ \mu_n $ を介して得られるメタプレクティック群へどのように一般化できるか？
• RQ2 未分岐群のメタプレクティック被覆上における球的Whittaker関数の明示的形は何か？
• RQ3 Weyl群の作用が古典的場合と異なっている点、および補正項は何か？
• RQ4 メタプレクティックWhittaker関数は、Weyl群多重ゼータ関数のどの程度まで $ p $-部と一致するか？

主な発見

• メタプレクティックCasselman-Shalika公式（定理8.1）は、Whittaker関数をWeyl群上の和として表現し、$ q $-変形項と根系のデータを含む係数を有する。
• 単純な反転 $ s_\alpha $ が単項式 $ x^\lambda $ に作用する際の作用は、$ \tau^{1}_{\mu,\mu} $ および $ \tau^{2}_{\mu,s\mu+\alpha} $ を含む明確な公式で与えられ、これらは双線形形式 $ B(\alpha,\lambda) $ と二次形式 $ Q(\alpha) $ に依存する。
• トーラス元 $ \varpi^\lambda $ におけるWhittaker関数の公式は、$ \chi(\varpi^\lambda) N(\chi,\lambda) $ に等しいことが示され、ここで $ N(\chi,\lambda) $ はChintaとGunnellsによるWeyl群多重ゼータ関数の $ p $-部である。
• $ \circ_1 $ および $ \circ_2 $ と表される2つのWeyl群作用は、正規化および符号因子を介して定義され、等価であることが証明され、メタプレクティック構成が標準理論と整合することを裏付ける。
• $ q \equiv 1 \pmod{2n} $ の仮定は、コycle構造の単純化とWeissmanの枠組みにおける第二のねじれの自明化に不可欠であるが、著者は弱い条件 $ q \equiv 1 \pmod{n} $ の下では符号の変化のみを予想している。