[論文レビュー] The metric dimension of small distance-regular and strongly regular graphs

R. A. Bailey|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 28被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、GAPを用いた広範なコンピュータ計算を通じて、すべての小さな距離正則および強い正則グラフのメトリック次元を特定する結果を提示している。これには、34頂点以下のすべてのグラフ、100頂点以下の低次数距離推移的グラフ、およびさまざまな他のクラスが含まれる。主な貢献は、これらのグラフのメトリック次元に関する包括的で検証済みのデータベースの構築であり、強い正則グラフについては独立した手法による検証が行われ、ジョンソンおよびケンザー・グラフ、ペイリー・グラフ、ハダマール・グラフなどの既知の結果の拡張がなされている。

ABSTRACT

A {\em resolving set} for a graph $Γ$ is a collection of vertices $S$, chosen so that for each vertex $v$, the list of distances from $v$ to the members of $S$ uniquely specifies $v$. The {\em metric dimension} of $Γ$ is the smallest size of a resolving set for $Γ$. A graph is {\em distance-regular} if, for any two vertices $u,v$ at each distance $i$, the number of neighbours of $v$ at each possible distance from $u$ (i.e. $i-1$, $i$ or $i+1$) depends only on the distance $i$, and not on the choice of vertices $u,v$. The class of distance-regular graphs includes all distance-transitive graphs and all strongly regular graphs. In this paper, we present the results of computer calculations which have found the metric dimension of all distance-regular graphs on up to 34 vertices, low-valency distance transitive graphs on up to 100 vertices, strongly regular graphs on up to 45 vertices, rank-$3$ strongly regular graphs on under 100 vertices, as well as certain other distance-regular graphs.

研究の動機と目的

• 34頂点以下のすべての距離正則グラフのメトリック次元を計算すること。
• 100頂点以下の低次数距離推移的グラフのメトリック次元を特定すること。
• 45頂点以下のすべての強い正則グラフのメトリック次元を計算し、独立した手法により先行結果を検証すること。
• 100頂点以下のランク3強い正則グラフおよびハダマール・グラフやジョンソン・グラフなどの特定のクラスにまで計算を拡張すること。
• 計算代数システムを用いて、小さな対称グラフのメトリック次元に関する包括的で検証済みのデータベースを提供すること。

提案手法

• グラフの解消集合を体系的に計算するためにGAP計算代数システムの活用。
• 距離正則および強い正則グラフにおける距離の計算と解消集合の性質の検証のためのアルゴリズムの実装。
• GAPの原始的群ライブラリやスローンのハダマール行列データベースなどの既存のライブラリを活用して、グラフの構築と分析。
• メトリック次元の定義の適用：すべての頂点がSへの距離ベクトルを一意に持つような最小の集合Sの特定。
• 既知のハダマール行列からハダマール・グラフを構築・分析するためにGRAPEの利用。
• 強い正則グラフの結果を、クリティカらによる線形計画法ベースの計算結果と照合して検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 34頂点以下のすべての距離正則グラフのメトリック次元は何か？
• RQ2 100頂点以下の低次数距離推移的グラフにおいて、メトリック次元はどのように振る舞うか？
• RQ3 45頂点以下のすべての強い正則グラフのメトリック次元は何か？ また、それらは先行結果とどのように比較されるか？
• RQ4 100頂点以下のランク3強い正則グラフ（ペイリーおよびジョンソン・グラフを含む）のメトリック次元は何か？
• RQ5 4から20までのオーダーのハダマール・グラフのメトリック次元にどのようなパターンや上限が現れるか？

主な発見

• 完全多部グラフ $K_{m_1,\text{...},m_r}$ のメトリック次元は $\sum_{i=1}^r (m_i - 1)$ であり、この証明は横断的選択と鳩の巣原理に基づく。
• ジョンソン・グラフ $J(n,2)$ については、$n \geq 4$ のときメトリック次元は $n-2$ である。$J(9,2)$ ではメトリック次元が6、$J(10,2)$ では7である。
• 100頂点のヒグマン＝サイトス・グラフのメトリック次元は14以下である。著者はこれが正確な値であると推測している。
• 同じオーダーのハダマール・グラフはすべて同じメトリック次元を持つ。$H(4)$ はメトリック次元4、$H(8)$ は7、$H(16)$ と $H(20)$ はともに10である。
• ペイリー・グラフ $P_{37}$ のメトリック次元は5、$P_{41}$ は7、$P_{89}$ と $P_{97}$ はそれぞれ8である。
• 56頂点のゲヴィルツ・グラフのメトリック次元は9、50頂点のホフマン＝シンゲルトン・グラフのメトリック次元は11である。