[論文レビュー] The Metric on the Space of Yang-Mills Configurations

Peter Orland|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、2+1次元および3+1次元の両方において、ヤン・ミルズ配置空間にリーマン計量を構成し、それが完備な計量空間であることを確立する。特異な計量テンソルを有する多様体のための微積分学を構築し、リーマン曲率を計算するとともに、ヤン・ミルズ波動汎関数におけるラプラシアンの形を再考し、低エネルギーでも純粋ゲージ配置から非常に遠く離れた長波長のグルーオン的配置が存在しうることを示す。これは、量子論における質量ギャップのメカニズムを提供する。

ABSTRACT

A distance function on the set of physical equivalence classes of Yang-Mills configurations considered by Feynman and by Atiyah, Hitchin and Singer is studied for both the $2+1$ and $3+1$-dimensional Hamiltonians. This set equipped with this distance function is a metric space, and in fact a Riemannian manifold as Singer observed. Furthermore, this manifold is complete. Gauge configurations can be used to parametrize the manifold. The metric tensor without gauge fixing has zero eigenvalues, but is free of ambiguities on the entire manifold. In $2+1$ dimensions the problem of finding the distance from any configuration to a pure gauge configuration is an integrable system of two-dimensional differential equations. A calculus of manifolds with singular metric tensors is developed and the Riemann curvature is calculated using this calculus. The Laplacian on Yang-Mills wave functionals has a slightly different form from that claimed earlier. In $3+1$-dimensions there are field configurations an arbitrarily large distance from a pure gauge configuration with arbitrarily small potential energy. These configurations resemble long-wavelength gluons. Reasons why there nevertheless can be a mass gap in the quantum theory are proposed.

研究の動機と目的

• 物理的ヤン・ミルズ配置空間に自然な計量を定義・解析し、ゲージ同値類を点として扱う。
• この空間が、ゲージ不変性に起因する特異な計量テンソルを有しても、完備なリーマン多様体であることを確立する。
• ゲージ不変性に起因する退化計量テンソルを有する多様体のための微積分学を構築し、曲率やラプラシアンなどの幾何的不変量を計算する。
• 特に、物理的配置と純粋ゲージ場との間の距離構造を調査する。
• 量子論における質量ギャップの存在に向け、大距離・低エネルギー配置が及ぼす影響を検討する。

提案手法

• ゲージ変換による商空間上に計量を定義し、接続空間における自然な内積を用いる。
• 論文は、計量テンソルにゼロ固有値が存在するにもかかわらず、物理的配置空間にリーマン構造を構築し、それが完備であることを示す。
• ゲージ固定を行わない状況下で、リーマン曲率やラプラシアンを計算するため、特化した特異計量テンソルを有する多様体のための微積分学を発展させる。
• 2+1次元では、配置から純粋ゲージ配置までの距離が、2次元偏微分方程式系の可積分系に従うことが示される。
• 3+1次元では、純粋ゲージ場から非常に遠く離れていても、ポテンシャルエネルギーが非常に小さい場の配置が存在することが明らかになる。これは長波長グルーオンに類似している。
• 新しい計量構造を用いて、ヤン・ミルズ波動汎関数におけるラプラシアンを再導出することで、文献における以前の主張を是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然な計量のもとで、物理的ヤン・ミルズ配置空間の幾何的構造はいかなるものか？
• RQ2 ゲージ冗長性があるにもかかわらず、ゲージ同値なヤン・ミルズ接続の空間に完備なリーマン計量を導入できるか？
• RQ3 ゲージ不変性に起因する退化計量テンソルを有する多様体上でのリーマン曲率テンソルの振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 このような計量のもとで、ヤン・ミルズ波動汎関数に作用するラプラシアンの正しい形は何か？
• RQ5 低ポテンシャルエネルギーの配置が、純粋ゲージ配置から任意に遠く離れる可能性はあり、それは量子論における質量ギャップの存在にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ゲージ不変性に起因するゼロ固有値を有する計量テンソルを有するが、自然計量を備えた物理的ヤン・ミルズ配置空間は、完備なリーマン多様体である。
• 2+1次元では、任意の配置から純粋ゲージ配置までの距離は、2次元微分方程式系の可積分系に従う。
• 特異計量テンソルを有する多様体のための新しい微積分学が開発され、このような状況下でのリーマン曲率テンソルの計算が可能になった。
• ヤン・ミルズ波動汎関数におけるラプラシアンは、配置空間の正しい幾何的構造を反映して、以前の主張とは異なる形をとることが判明した。
• 3+1次元では、ポテンシャルエネルギーが非常に小さくても、純粋ゲージ配置から任意に遠く離れた場の配置が存在する。これは、量子論における質量ギャップのメカニズムを示唆する。
• これらの長波長グルーオン的配置は、エネルギー的に安価であるが、幾何的には遠く離れている。これは、質量ギャップが配置空間の非自明な位相的・幾何的性質に起因する可能性を示唆している。