[論文レビュー] The minimal ideal in multiplier algebras

Victor Kaftal, P. W. Ng+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純で、σ-ユニタルで、非ユニタルで、非基本的なC*-代数 $\mathcal{A}$ の乗算代数 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ における最小のイデアル $I_{\mathrm{min}}$ が、近似単位を用いて定義されたリンのイデアルと一致し、$\mathcal{A}$ を真に含む最小の閉イデアルであることを確立する。$I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ が純粋無限的かつ単純であることを証明し、$\mathcal{A}$ が正の元のトレースによる厳密比較を満たすときかつそのときに限り $I_{\mathrm{min}} = I_{\mathrm{cont}}$ であることを示す。その反例として、遅い次元成長を示さないヴィラードセンのAH代数が提示される。

ABSTRACT

Let $\mathcal A$ be a simple, $σ$-unital, non-unital, non-elementary C*-algebra and let $I_{min}$ be the intersection of all the ideals of $\mathcal M(\mathcal A)$ that properly contain $\mathcal A$. $I_{min}$ coincides with the ideal defined by Lin (Simple C*-algebras with continuous scales and simple corona algebras. 112, (1991) Proc. Amer.Math. Soc) in terms of approximate units of $\mathcal A$ and $I_{min}/\mathcal A$ is purely infinite and simple. If $\mathcal A$ is separable, or if $\mathcal A$ has the (SP) property and its dimension semigroup $D(\mathcal A)$ of Murray-von Neumann equivalence classes of projections of $\mathcal A$ is order separable, or if $\mathcal A$ has strict comparison of positive elements by traces, then $\mathcal A e I_{min}$. If the tracial simplex $ \mathcal T(\mathcal A)$ is nonempty, let $ I_{con}$ be the closure of the linear span of the elements $A\in\mathcal M(\mathcal A)_+$ such that the evaluation map $\hat A(τ)=τ(A)$ is continuous. If $\mathcal A$ has strict comparison of positive element by traces then $I_{min}= I_{con}$. Furthermore, $I_{min}$ too has strict comparison of positive elements in the sense that if $A, B\in (I_{min})_+$, $B ot \in\mathcal A$ and $d_τ(A)< d_τ(B)$ for all $τ\in \mathcal T(\mathcal A)$ for which $d_τ(B)< \infty$, then $A\preceq B$. However if $\mathcal A$ does not have strict comparison of positive elements by traces then $I_{min} e I_{con}$ can occur: a counterexample is provided by Villadsen's AH algebras without slow dimension growth. If the dimension growth is flat, $ I_{con}$ is the largest proper ideal of $\mathcal M(\mathcal A)$.

研究の動機と目的

• 単純で、$\sigma$-ユニタルで、非ユニタルで、非基本的なC*-代数の乗算代数における、さまざまな最小イデアルの構成の関係を明確化すること。
• $I_{\mathrm{min}}$ がリンの非閉イデアルの閉包として定義されるとき、それは$\mathcal{A}$ を真に含む最小の閉イデアルであることを確立すること。
• $I_{\mathrm{min}}$ が連続イデアル $I_{\mathrm{cont}}$ と一致する条件を特徴づけること。$I_{\mathrm{cont}}$ はトレース評価の連続性を用いて定義される。
• $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ のイデアル構造と $I_{\mathrm{min}}$ の性質、特にその厳密比較性と純粋無限的性を調査すること。
• ヴィラードセンのAH代数（遅い次元成長を示さないもの）を反例として提示し、$I_{\mathrm{min}} \neq I_{\mathrm{cont}}$ となる場合を示すこと。

提案手法

• 本稿は、$\mathcal{M}(\mathcal{A})$ の元に対する二重対角分解を用いて、リンの非閉イデアルの閉包 $I_{\mathrm{min}}$ が両側イデアルであることを証明する。
• $I_{\mathrm{min}}$ を、$\mathcal{A}$ の近似単位 $\{e_n\}$ によって生成される集合 $L(K_o(\{e_n\}))$ の閉包として定義し、これが近似単位の選び方に依存しないことを証明する。
• $I_{\mathrm{cont}}$ を、正の元 $A \in \mathcal{M}(\mathcal{A})_+$ で、トレース単体 $\mathcal{T}(\mathcal{A})$ 上でトレース評価 $\hat{A}(\tau) = \tau(A)$ が連続であるようなものの線形包の閉包として定義する。
• 次元ランク比と安定的次元の技術を用いて、射影の全性と $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ の構造を分析し、特にヴィラードセンの代数の文脈で検討する。
• $K$-理論と射影のムーリー＝フォンノイマン同値関係の結果を適用し、特定の条件下で $I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ が純粋無限的かつ単純であることを示す。
• 補足的な三重対角分解（補題7.11）を用いて、$I(R_\infty)$ 内の元の挙動を分析し、$Q \notin I(R_\infty)$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗算代数 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ における最小イデアル $I_{\mathrm{min}}$ は、近似単位を用いて定義されたリンのイデアルと一致するか。また、これは近似単位の選び方に依存しないか。
• RQ2 $I_{\mathrm{min}}$ がトレース関数の連続性によって定義される連続イデアル $I_{\mathrm{cont}}$ と一致する条件は何か。
• RQ3 $I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ は純粋無限的かつ単純か。この性質が保証される条件は何か。
• RQ4 $I_{\mathrm{min}} \neq I_{\mathrm{cont}}$ が成立しうるか。その場合、$\mathcal{A}$ の構造的条件は何か。
• RQ5 正の元のトレースによる厳密比較が、$I_{\mathrm{min}} = I_{\mathrm{cont}}$ の成立を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• 乗算代数 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ における最小イデアル $I_{\mathrm{min}}$ は、リンの非閉イデアル $L(K_o(\{e_n\}))$ の閉包であり、近似単位の選び方に依存しない両側イデアルである。
• $I_{\mathrm{min}}$ は $\mathcal{A}$ を真に含む最小の閉イデアルであり、$I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ は純粋無限的かつ単純である。
• $I_{\mathrm{min}} = I_{\mathrm{cont}}$ が成り立つのは、$\mathcal{A}$ が正の元のトレースによる厳密比較を満たすときかつそのときに限る。ヴィラードセンのAH代数（遅い次元成長を示さないもの）の反例によって示される。
• $\mathcal{A}$ が正の元のトレースによる厳密比較を満たすならば、$I_{\mathrm{min}}$ 自身も厳密比較を満たす。すなわち、$A,B \in (I_{\mathrm{min}})_+$ に対して、すべての $\tau \in \mathcal{T}(\mathcal{A})$ で $d_\tau(B) < \infty$ ならば $d_\tau(A) < d_\tau(B)$ ならば $A \preceq B$ である。
• ヴィラードセンのAH代数（遅い次元成長を示さないもの）では、$I_{\mathrm{min}} \neq I_{\mathrm{cont}}$ が成り立ち、次元成長が平坦なとき $I_{\mathrm{cont}}$ は $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ の最大の真のイデアルである。
• $R_\infty = \bigoplus_{k=1}^\infty k! r_k$ は、$\mathcal{M}(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}) \setminus (\mathcal{A} \otimes \mathcal{K})$ に属する射影であり、$R_\infty \notin I_{\mathrm{cont}}$ である。また、$n_k \geq k! \sigma(k)$ のとき $Q \notin I(R_\infty)$ である。