[論文レビュー] The Minimal Polynomial over F_q of Linear Recurring Sequence over F_{q^m}

Zhihan Gao, Fang‐Wei Fu|ArXiv.org|Apr 3, 2009

Coding theory and cryptography被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、𝔽_{q^m} 上の線形再帰列の最小多項式 h(x) の canonical 因数分解が既知であるとき、その 𝔽_q 上の最小多項式および線形複雑度を決定する。環自己同型 σ を 𝔽_{q^m}[x] に導入し、σ-軌道の積として 𝔽_q 上の最小多項式を構成する公式を導出する。線形複雑度は、各軌道の重み付き次数の和として計算される。主な貢献は、h(x) の因数分解から、共通の最小多項式および共通の線形複雑度を構成的に計算する方法を提供することである。

ABSTRACT

Recently, motivated by the study of vectorized stream cipher systems, the joint linear complexity and joint minimal polynomial of multisequences have been investigated. Let S be a linear recurring sequence over finite field F_{q^m} with minimal polynomial h(x) over F_{q^m}. Since F_{q^m} and F_{q}^m are isomorphic vector spaces over the finite field F_q, S is identified with an m-fold multisequence S^{(m)} over the finite field F_q. The joint minimal polynomial and joint linear complexity of the m-fold multisequence S^{(m)} are the minimal polynomial and linear complexity over F_q of S respectively. In this paper, we study the minimal polynomial and linear complexity over F_q of a linear recurring sequence S over F_{q^m} with minimal polynomial h(x) over F_{q^m}. If the canonical factorization of h(x) in F_{q^m}[x] is known, we determine the minimal polynomial and linear complexity over F_q of the linear recurring sequence S over F_{q^m}.

研究の動機と目的

• 𝔽_{q^m} 上の線形再帰列の最小多項式 h(x) の canonical 因数分解が与えられたとき、その 𝔽_q 上の最小多項式および線形複雑度を決定すること。
• 𝔽_{q^m} 上の列から導出される m 重マルチシーケンスの共通の最小多項式および共通の線形複雑度を構成的に計算する方法を確立すること。
• Meidl と Özbudak が導出した 𝔽_{q^m} 上の線形複雑度の下界のタイトネス条件について、新しい証明と特徴付けを提供すること。
• Frobenius 自動同型 σ の作用を通じて、𝔽_{q^m}[x] 内の h(x) の因数分解と 𝔽_q 上の最小多項式の構造との関係を明確にすること。

提案手法

• 𝔽_{q^m} 上の Frobenius 自動同型 σ が α ↦ α^q を定めるものとして、𝔽_{q^m}[x] 上の環自己同型 σ を σ(f(x)) = f(σ(x)) で定義する。
• monic な既約多項式 P(x) ∈ 𝔽_{q^m}[x] の σ-軌道を {σ^j(P(x)) | j ≥ 0} と定義し、σ^{k(P)}(P) = P となる最小の正の整数 k(P) をそのサイズと定める。
• h(x) の各既約因子 P_i に対して、その軌道サイズ k(P_i) = gcd(deg(P_i), m) を計算し、それらの軌道を用いて 𝔽_q 上の最小多項式を、すべての異なる σ-軌道の既約因子の積として構成する。
• h(x) の canonical 因数分解 h(x) = ∏_{i=1}^k P_i^{e_{i0}} σ(P_i)^{e_{i1}} ⋯ σ^{u_i-1}(P_i)^{e_{i(u_i-1)}} を用いて、𝔽_q 上の最小多項式 H(x) を ∏_{i=1}^k (P_i σ(P_i) ⋯ σ^{k_i-1}(P_i))^{e_i} と導出する。ここで e_i = max{e_{ij}} である。
• 𝔽_q 上の線形複雑度を deg(H(x)) = ∑_{i=1}^k e_i ⋅ k_i ⋅ deg(P_i) として計算する。ここで k_i は P_i の σ-軌道のサイズである。
• 𝔽_{q^m} 上の線形複雑度の下界がタイトであることは、𝔽_{q^m} 上の最小多項式 h(x) が同じ既約因子の σ-軌道の積であり、かつすべての指数が最大であるときにかつそのときに限り成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝔽_{q^m} 上の線形再帰列の最小多項式 h(x) の canonical 因数分解が与えられたとき、その 𝔽_q 上の最小多項式はどのように計算できるか？
• RQ2 h(x) の既約因子の σ-軌道構造と 𝔽_q 上の最小多項式との間の明確な関係は何か？
• RQ3 Meidl と Özbudak が導出した 𝔽_{q^m} 上の線形複雑度の下界がタイトである条件は何か？
• RQ4 𝔽_q 上の m 重マルチシーケンスの共通の線形複雑度は、𝔽_{q^m} 上の最小多項式の因数分解とどのように関係するか？
• RQ5 Frobenius 自動同型 σ は、基本体 𝔽_q 上の最小多項式を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 𝔽_{q^m} 上の線形再帰列が最小多項式 h(x) を持つとき、その 𝔽_q 上の最小多項式 H(x) は H(x) = ∏_{i=1}^k (P_i σ(P_i) ⋯ σ^{k_i-1}(P_i))^{e_i} で与えられる。ここで P_i は h(x) の既約因子、k_i はその σ-軌道のサイズ、e_i は軌道内成分の最大重複度である。
• 列の 𝔽_q 上の線形複雑度は deg(H(x)) = ∑_{i=1}^k e_i ⋅ k_i ⋅ deg(P_i) として与えられ、これは各軌道積の次数をその重みで加重した和として計算される。
• 𝔽_q 上の最小多項式 f(x) を持つ列の 𝔽_{q^m} 上の線形複雑度の下界は ∑_{i=1}^k e_i ⋅ n_i / gcd(n_i, m) である。ここで n_i = deg(r_i) は f(x) の既約因子 r_i の次数である。この下界は、h(x) が f(x) の既約因子の σ-軌道の積であり、かつすべての指数が最大であるときにかつそのときに限りタイトである。
• 𝔽_q 上の最小多項式 H(x) は、h(x) の既約因子の σ-軌道分解によって一意に定まり、かつその列を零化する最小次数の monic 多項式である。
• 例では、𝔽_2 上の最小多項式は (x^2 + x + 1)(x^4 + x + 1) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + 1 であり、𝔽_2 上の線形複雑度は 6 である。これは 2×1 + 2×2 = 6 として計算される。
• Meidl-Özbudak の下界のタイトネス条件は、𝔽_{q^m} 上の最小多項式 h(x) が ∏_{i=1}^k σ^{j_i}(P_i)^{e_i} (0 ≤ j_i ≤ u_i - 1) の形に書けるとき、かつそのときに限り成り立つ。ここで u_i = gcd(n_i, m) である。