[論文レビュー] The minimax approach to the estimation of solutions to first order linear systems of ordinary differential periodic equations with inexact data

A. G. Nakonechny, Yuri Podlipenko|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Statistical and numerical algorithms参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不正確なデータを伴う周期的常微分方程式系の一次線形系に対するミニマックス推定手法を開発する。右辺は二次的制約を満たすものとされる。推定問題を最適制御問題に還元することで、解および線形汎関数のミニマックス推定の明示的表現が得られ、一意に解ける周期的ODE系の解を通じて導出される。

ABSTRACT

We consider first-order linear systems of ordinary differential equations with periodic coefficients. Supposing that right-hand sides of equations are not known and subjected to some quadratic restrictions, we obtain optimal, in certain sense, estimates of solutions to above-mentioned problems from indirect noisy observations of these solutions on a finite system of points and intervals.

研究の動機と目的

• 右辺が二次的制約を満たすとされる周期的線形ODE系の解の推定という課題に取り組む。
• 有限区間および点での間接的でノイズの混入した観測から、解および線形汎関数の保証付き（ミニマックス）推定を構築する。
• 推定問題が一意に解ける周期的ODE系の解に帰着される条件を確立する。
• 共役系および元の周期的系の解を用いて、ミニマックス推定および推定誤差の明示的解析的表現を提供する。

提案手法

• 二次的制約内での許容可能な摂動の全範囲において、最悪ケースの平均二乗誤差を最小化するミニマックス最適化問題として推定問題を定式化する。
• 双対性原理を用いて、ミニマックス推定問題を最適制御問題に還元する。この際、共役系を活用する。
• 観測点におけるインパルス条件を伴う周期的ODEの共役系を導出し、最適推定の特徴を特定する。
• 解のミニマックス推定を、コストート関数の解によって定まる係数を持つ観測の線形結合として表現する。
• 観測点におけるコストート関数の値を求めるための連立一次方程式系を構築し、推定の数値計算を可能にする。
• 基本行列解および遷移行列（例：$X(t)$、$Z(t) = [X^*(t)]^{-1}$）を用いて、推定誤差および推定自体の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右辺が二次的制約を満たすとされる周期的線形ODE系の解に対して、どのようにミニマックス推定を得ることができるか。
• RQ2 間接的でノイズ混入した観測（離散点および区間）のもとでの最適線形推定の構造はいかなるものか。
• RQ3 ミニマックス推定問題を解ける最適制御問題にどのように変換できるか。
• RQ4 推定プロセスに帰着される周期的ODE系の解の一意性を保証する条件は何か。
• RQ5 推定誤差および最適推定は、システムの基本行列解を用いてどのように明示的に表現されるか。

主な発見

• 解のミニマックス推定は、周期的ODE系の解から導かれる係数を持つ観測の線形結合として明示的に表現される。
• 推定誤差は一意に解ける周期的ODE系の解によって決定され、最悪ケースの摂動のもとで安定性および最適性が保証される。
• 観測点におけるコストート関数の値は、$\det(E_n - X(T)) \neq 0$ の条件下で解ける連立一次方程式系を満たす。
• 最適推定および推定誤差は、基本行列 $X(t)$ 及びその随伴行列 $Z(t) = [X^*(t)]^{-1}$ を用いて閉形式で表現される。
• 本手法により、二次的不確実性制約下での周期的システムに対するミニマックスカルマン＝ブチャ型フィルタが得られる。
• $p(t)$、$\hat{z}(t)$、および $\hat{x}(t)$ の明示的公式の導出を通じて、本手法の妥当性が検証され、推定は双対周期的系（インパルス条件を伴う）の解と結びついている。