[論文レビュー] The minimizing vector theorem in symmetrized max-plus algebra

Cenap Özel, Artur Piękosz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称化 max-plus 代数において、空でない部分集合がチェビシェフ（任意の元に対して一意に最も近い点をもつ）であるための必要十分条件が、同時に閉かつ連結であることであることを確立している。著者たちは選択公理を含まないツェルメロ＝ラムゼイ集合論（ZF）の枠組みで、位相的および幾何的議論を用いて、対称化 max-plus 空間の有限直積における近接集合およびチェビシェフ集合の性質に関する新規結果を証明し、最小化ベクトル定理への応用を示している。

ABSTRACT

Assuming ZF and its consistency, we study some topological and geometrical properties of the symmetrized max-plus algebra in the absence of the axiom of choice in order to discuss the minimizing vector theorem for finite products of copies of the symmetrized max-plus algebra. Several relevant statements that follow from the axiom of countable choice restricted to sequences of subsets of the real line are shown. Among them, it is proved that if all simultaneously complete and connected subspaces of the plane are closed, then the real line is sequential. A brief discussion about semidenrites is included. Older known proofs in ZFC of several basic facts relevant to proximinal and Chebyshev sets in metric spaces are replaced by new proofs in ZF. It is proved that a nonempty subset C of the symmetrized max-plus algebra is Chebyshev in this algebra if and only if C is simultaneously closed and connected. An application of it to a version of the minimizing vector theorem for finite products of the symmetrized max-plus algebra is shown. Open problems concerning some statements independent of ZF and other statements relevant to Chebyshev sets are posed.

研究の動機と目的

• ZF集合論において選択公理を含まない状況下で、対称化 max-plus 代数（SMPA）の有限直積における最小化ベクトル定理を調査すること。
• 位相的および幾何的性質を用いて、SMPAおよびその有限直積におけるチェビシェフ集合を特徴づけること。
• 古典的なZFCに基づく近接集合およびチェビシェフ集合の性質に関する証明を、選択公理に依存しない新しい、より洗練された証明に置き換えること。
• 特に度量の完備性およびRの列法的性質の文脈において、SMPAの部分集合が同時に閉、連結、およびチェビシェフであるための条件を特定すること。
• SMPAおよびその直積におけるチェビシェフ集合の構造、およびそれが凸性や完備性とどのように関係するかに関する未解決問題を提示すること。

提案手法

• 選択公理を避けるため、基礎的枠組みとしてツェルメロ＝ラムゼイ集合論（ZF）を用い、必要に応じてRの部分集合に対して可算選択公理に制限する。
• 対称化 max-plus 代数 $\mathbb{S}$ 上に二つの同値な距離 $d_1$ および $d_2$ を導入し、内挙動距離によって誘導される位相を $\mathbb{S}$ に与え、$\mathbb{S}$ が $\mathbb{C}$ に半順序の半順序的埋め込みをもつ半順序的ドリフト（semidendrite）として実現できることを示す。
• $\mathbb{S}^n$ における幾何的線分を $\mathbb{C}^n$ 内の折れ線として定義し、$\mathbb{S}$ 内の半モジュール凸集合のカルテシアン積としてのボックス半モジュール凸性を導入する。
• 連結成分および近接集合の位相的議論を用いて、$\mathbb{S}$ の閉かつ連結部分集合が、ちょうど $d_i$-チェビシェフ集合であることを示す。
• $\mathbb{S}^n$ において、集合が $\rho_{k,j}$-チェビシェフであるための必要十分条件は、連結であることであることを証明し、距離の射影の逆像が高々 $3^n$ 個の点からなることを示す。
• 半モジュールの構造および $\mathbb{S}^n$ 上の自然な位相を用いて、距離の完備性およびカントール完備性を分析し、これらを $\mathbb{R}$ の列法的性質と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFにおいて選択公理を含まない場合、$\mathbb{S}$ の同時に閉かつ連結な部分集合は常にチェビシェフ集合か？
• RQ2 平面のすべての同時に完備かつ連結な部分空間が閉であるならば、実数直線は列法的か？
• RQ3 $\mathbb{S}^n$ において、集合 $D_i$-チェビシェフであるための必要十分条件は幾何的凸性か？
• RQ4 ZFおよびRの部分集合に対する可算選択公理のみを用いて、$\mathbb{S}^n$ における最小化ベクトル定理を完全に特徴づけられるか？
• RQ5 無限次元ヒルベルト空間において、同時に凸かつ完備な部分集合はZFにおいてカントール完備か？

主な発見

• 対称化 max-plus 代数 $\mathbb{S}$ の空でない部分集合 $C$ が $d_i$-チェビシェフであるための必要十分条件は、$C$ が同時に閉かつ連結であることである。
• $\mathbb{S}^n$ において、集合 $A = \prod_{i \in n} A_i$ が $\rho_{k,j}$-チェビシェフであるための必要十分条件は、$A$ が連結であることである。ただし、積距離 $\rho_{k,j}$ の下で成り立つ。
• 閉かつボックス半モジュール凸集合 $A \subseteq \mathbb{S}^n$ に対して、距離射影 $P_{\rho_{k,j},A}(x)$ は高々 $3^n$ 個の点からなる。
• すべての同時に完備かつ連結な平面の部分空間が閉であるならば、実数直線は列法的である。この結果はZFにおいてこの文言と同値であることが示されている。
• 度量空間における近接集合およびチェビシェフ集合の性質に関する古典的証明は、選択公理に依存しない新しいZF妥当な証明に置き換えられた。
• 未解決問題として提示：$n > 1$ のとき、$\mathbb{S}^n$ において、集合 $D_i$-チェビシェフであるための必要十分条件は幾何的凸性か？