[論文レビュー] The Minimum Hartree Value for the Quantum Entanglement Problem

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、n粒子系における量子もつれの幾何学的測度として、最小ハートリー値σを導入し、σ > 0を証明するとともに、n ≥ 3に対してσ ≥ 1/√(d₁⋯dₙ₋₁)という下界を確立している。ここでdₖは部分系の次元を表す。この結果により、もつれ距離に対するタイトな上界が得られ、|||Ψ⟩ − |ϕ_Ψ⟩|| ≤ √(2 − 2σ) ≤ √(2 − 2/√(d₁⋯dₙ₋₁))が成立する。

ABSTRACT

A general $n$-partite state $| Ψ>$ of a composite quantum system can be regarded as an element in a Hilbert tensor product space $\HH = \otimes_{k=1}^n \HH_k$, where the dimension of $\HH_k$ is $d_k$ for $k = 1,..., n$. Without loss of generality we may assume that $d_1 \le...\le d_n$. A separable (Hartree) $n$-partite state $| ϕ>$ can be described by $| ϕ> = \otimes_{k=1}^n | ϕ^{(k)}>$ with $| ϕ^{(k)}> \in \HH_k$. We show that $σ:= \min \{< Ψ| ϕ_Ψ> : | Ψ> \in \HH,.$ $. < Ψ| Ψ> = 1\}$ is a positive number, where $| ϕ_Ψ>$ is the nearest separable state to $| Ψ>$. We call $σ$ the minimum Hartree value of $\HH$. We further show that $σ\ge 1/{\sqrt{d_1... d_{n-1}}}$. Thus, the geometric measure of the entanglement content of $Ψ$, $\| | Ψ> - | ϕ_Ψ> \| \le \sqrt{2-2σ} \le \sqrt{2-2(1/{\sqrt{d_1...d_{n-1}}})}$.

研究の動機と目的

• 合成系における量子もつれの幾何学的不変量として最小ハートリー値σを定義・分析すること。
• n ≥ 3であるn粒子系においてσの正の下界を確立し、分離状態との最小重なりがゼロでないことを保証すること。
• σを用いて幾何学的もつれ測度の定量的上界を提供すること。
• 2粒子系における結果（σ = 1/√d₁）を高次系へ一般化すること。

提案手法

• すべての正規化された|Ψ⟩ ∈ ℋおよびその最近接分離状態|ϕ_Ψ⟩に対する重なり⟨Ψ|ϕ_Ψ⟩の下界としてσを定義する。
• 有限次元ヒルベルト空間におけるノルム同値性を用いてσ > 0を証明する。
• ラグランジュ乗数法を用いて最大重なりλ* = ⟨Ψ|ϕ_Ψ⟩の最適性条件を導出する。
• n粒子系の問題をハイパーマトリックスの特異値解析に還元し、フロベニウスノルムおよびランク1近似の境界を用いる。
• ハイパーマトリックスノルム分解から‖𝒜‖² ≤ d₁⋯dₙ₋₁ σ(𝒜)²を導出し、σ ≥ 1/√(d₁⋯dₙ₋₁)に至る。
• 幾何学的もつれ測度|||Ψ⟩ − |ϕ_Ψ⟩||² = 2 − 2⟨Ψ|ϕ_Ψ⟩を用いてもつれ内容を境界づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化されたn粒子量子状態とその最近接分離状態との間の最大重なりの下限は何か？
• RQ2 与えられた部分系次元d₁ ≤ ⋯ ≤ dₙに対して、任意のn粒子系においてこの最小重なりの普遍的下界を導出可能か？
• RQ3 n ≥ 3において、最小ハートリー値σは部分系次元d₁, ..., dₙ₋₁とともにどのようにスケーリングするか？
• RQ4 不等式σ ≥ 1/√(d₁⋯dₙ₋₁)はタイトか？また、あるもつれた状態で達成可能か？
• RQ5 2粒子系における結果σ = 1/√d₁は、どのように高次粒子系へ一般化できるか？

主な発見

• 最小ハートリー値σは正であるため、任意の正規化された量子状態が最近接分離状態とゼロでない重なりを持つことが保証される。
• n = 2の場合、最小ハートリー値は正確にσ = 1/√d₁であり、これは最大もつれ状態（ベル型状態）で達成可能である。
• n ≥ 3の場合、σ ≥ 1/√(d₁⋯dₙ₋₁)という下界が証明され、これは最初のn−1個の部分系の次元にのみ依存する。
• この下界により、幾何学的もつれ距離が|||Ψ⟩ − |ϕ_Ψ⟩|| ≤ √(2 − 2σ) ≤ √(2 − 2/√(d₁⋯dₙ₋₁))を満たすことが示される。
• この下界はハイパーマトリックスノルム分解および状態振幅テンソルへのフロベニウスノルム不等式の適用により導出された。
• この結果により、部分系の次元と最悪状況下での最小もつれ内容との間の定量的関係が確立される。