[論文レビュー] The Minimum Shared Edges Problem on Planar Graphs

Till Fluschnik, Manuel Sorge|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、最大次数が4に制限された場合でさえ、平面グラフ上のMinimum Shared Edges問題がNP困難であることを証明している。著者らは、頂点選択と辺選択をモデル化するための特殊なガジェット（バンドル、フェザー、レインボー）を用いたグリッドベースの構成を用いて、Vertex Coverから帰着させている。この帰着において、共有辺の制約が、元の問題における頂点被覆解と正確に対応していることを示している。

ABSTRACT

We study the Minimum Shared Edges problem introduced by Omran et al. [Journal of Combinatorial Optimization, 2015] on planar graphs: Planar MSE asks, given a planar graph G = (V,E), two distinct vertices s,t in V , and two integers p, k, whether there are p s-t paths in G that share at most k edges, where an edges is called shared if it appears in at least two of the p s-t paths. We show that Planar MSE is NP-hard by reduction from Vertex Cover. We make use of a grid-like structure, where the alignment (horizontal/vertical) of the edges in the grid correspond to selection and validation gadgets respectively.

研究の動機と目的

• 平面グラフ上のMinimum Shared Edges問題の計算複雑性を確立すること。
• 問題が平面性および次数制限の下でもNP困難のままであるかどうかを特定すること。
• 共有辺の数をパrameterとした場合の問題のパrameterized複雑性を調査すること。
• NP困難性の結果を出次数および入次数が有界な有向平面グラフへ拡張すること。

提案手法

• 頂点を表す行と、Vertex Coverインスタンスからの辺を表す列を持つ平面グリッドグラフを構築する。
• $(m^3, M, k'+1)$-フェザーと$(1,M,k'+1)$-フェザーを用いて、頂点選択および辺選択の制約を符号化する。
• 無向辺を模倣するため、垂直接続を有向ガジェットコンポーネントに置き換える。
• 辺の分割と2分木の置換を適用して、頂点次数を4以下に低下させつつ、平面性と解の同値性を保持する。
• バンドルをレインボーに置き換え、構造的変更後の同値性を維持するために共有辺予算を調整する。
• 垂直接続を除くすべての辺を有向化し、各無向垂直接続を、少なくとも$k'+1$個の共有アークを持つ有向ガジェットに置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Minimum Shared Edges問題は平面グラフ上でNP困難か？
• RQ2 グラフの最大次数が4である場合でも、問題のNP困難性は維持されるか？
• RQ3 この帰着は、出次数および入次数が有界な有向平面グラフに適応可能か？
• RQ4 共有辺の数をパrameterとした場合、問題は固定パラメータ可 tractable か？
• RQ5 NP困難性の結果は、最大次数が3の平面グラフへも拡張可能か？

主な発見

• 平面グラフ上のMinimum Shared Edges問題は、最大次数が4に制限された場合でさえNP困難である。
• Vertex Coverからの帰着は、特殊なガジェットを用いたグリッド構造を用いて、頂点選択および辺選択を模倣している。
• 構築されたインスタンスにおける各$s$-$t$ルートは、元のインスタンスにおける有効な頂点被覆に対応し、逆も成り立つ。
• 共有辺予算$k'$は$k \times (m^3 + m + 1)$に設定されており、これにより、有効な頂点被覆に対応する解のみが所定の共有辺数に達することが保証される。
• 度数削減および有向化処理を含むすべての変換において、平面性が保持されている。
• 出次数および入次数が最大3である有向平面グラフに対しても、問題はNP困難のままであることが、有向ガジェットの置換によって示された。